bac blanc du 21 février 2017

Corrigé de l'exercice 3

1. Pour caractériser le temps de charge d'un condensateur, on utilise grandeur appelée constante de temps, notée τ, exprimée en seconde . On a : $\tau =R\times C$.
   Vérifier que $u\left(\tau \right)\approx \mathrm{0,63}\times E$.

   $$\tau =4000\times 500\times {10}^{-6}=2$$

   $$u\left(2\right)=10\times \left(1-{\mathrm{e}}^{-1}\right)\approx \mathrm{6,3}$$

   À $t=\tau$, la tension aux bornes du condensateur est $u\left(\tau \right)\approx \mathrm{0,63}\times E$.

   ---

2. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction u. En donner une interprétation graphique.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }10\times \left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}\right)=10$.

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(t\right)=10$. Par conséquent, la courbe représentative de la fonction u admet pour asymptote la droite d'équation $y=10$ en $+\infty$.

   ---

3. On note $u\prime$ la dérivée de la fonction u.

   1. Montrer que $u\prime \left(t\right)=5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$.

      La dérivée de la fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$ est la fonction $t\mapsto -\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$.

      Par conséquent, $$u\prime \left(t\right)=10\times \left(\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}\right)=5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$$

      $u\prime$ est la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $u\prime \left(t\right)=5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$.

      ---

   2. Étudier le signe de $u\prime \left(t\right)$. En déduire le sens de variation de la fonction u.

      Pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}>0$ d'où $5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}>0$

      $u\prime \left(t\right)>0$ donc la fonction u est strictement croissante.

      ---

4. Déterminer une équation de la tangente D à la courbe représentative de la fonction u au point d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente D à la courbe représentative de la fonction u au point d'abscisse 0 est :$$y=u\prime \left(0\right)\times t+u\left(0\right)$$

   Or $u\left(0\right)=10\times \left(1-{\mathrm{e}}^0\right)=0$ et $u\prime \left(0\right)=5\times {\mathrm{e}}^0=5$. On en déduit que :

   la tangente D à la courbe représentative de la fonction u au point d'abscisse 0 a pour équation $y=5t$.

   ---

   remarque :

   La tangente à la courbe représentative de la fonction u au point d'abscisse 0 coupe l'asymptote au point d'abscisse τ.

5. Pratiquement, un condensateur est considéré comme totalement chargé au bout d'une durée T telle que $u\left(T\right)=\mathrm{0,99}\times E$.
   Déterminer le temps de charge T arrondi au dixième de seconde près.

   Le temps de charge T est solution de l'équation $$\begin{array}{rcl}10\times \left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}T}\right)=\mathrm{0,99}\times 10& \iff & 1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}T}=\mathrm{0,99}\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}T}=\mathrm{0,01}\\ & \iff & -\mathrm{0,5}T=\ln \left(\mathrm{0,01}\right)\\ & \iff & T=-2\ln \left(\mathrm{0,01}\right)\\ & \iff & T=4\ln \left(10\right)\approx \mathrm{9,2}\end{array}$$

   Le temps de charge du condesateur est de 9,2 secondes.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variation, limitesLogarithme népérien : Propriétés algébriques , équationsFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentiellePrimitives d'une fonctionIntégrationÉquations différentiellesProbabilités : Lois de probabilité à densitéTrigonométrieNombres complexesFonctions : QCMFonctions : Vrai-Faux

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.