bac blanc du 21 février 2017

Corrigé de l'exercice 4

1. Par lecture graphique, déterminer $F\left(1\right)$ et $f\left(1\right)$.

   • Le point A de coordonnées $\left(1;3\right)$ appartient à la courbe représentative de la fonction F donc $F\left(1\right)=3$.

   • F est une primitive sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ de la fonction f donc pour tout réel x strictement positif, on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, $f\left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_F$ au point A d'abscisse 1, d'où :$$\begin{array}{ccc}f\left(1\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{soit}& f\left(1\right)={\displaystyle \frac{2-3}{0-1}}=1\end{array}$$

   Ainsi, $F\left(1\right)=3$ et $f\left(1\right)=1$.

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2. La fonction f est définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=x-\ln \left(x\right)$.

   1. Calculer la limite de la fonction f en 0. En donner une interprétation graphique.

      $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty$ d'où $\underset{x\to 0}{\lim }x-\ln \left(x\right)=+\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ par conséquent, l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de la fonction f.

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   2. Calculer la limite de la fonction f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(x\right)=+\infty$ nous sommes en présence d'une forme indéterminée « $\infty -\infty$ ». Or pour tout réel $x\ne 0$ :$$x-\ln \left(x\right)=x\times \left(1-{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}\right)$$

      Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}=0$ on en déduit que $\underset{x\to +\infty }{\lim }1-{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}=1$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\times \left(1-{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}\right)=+\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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3. Calculer $f\prime \left(x\right)$, où $f\prime$ est la dérivée de la fonction f.

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\prime \left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

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4. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x.

      Pour tout réel x strictement positif, $$f\prime \left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{x-1}{x}}$$

      D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ :

      x	0				1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	0				1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			$+\infty$		$f\left(1\right)=1$		$+\infty$

5. En déduire que la fonction F est strictement croissante.

   Le minimum de la fonction f est égal à 1. Donc pour tout réel x strictement positif, $f\left(x\right)⩾1$.

   Ainsi, sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a $F\prime \left(x\right)>0$ donc la la fonction F est strictement croissante.

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6. 1. Montrer que la fonction G définie pour tout réel x strictement positif par $G\left(x\right)=x\left(\ln \left(x\right)-1\right)$ est une primitive de la fonction logarithme népérien.

      G est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $G=uv$ d'où $G\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x& \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)-1& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$

      Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rcl}G\prime \left(x\right)& =& \ln \left(x\right)-1+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & =& \ln \left(x\right)\end{array}$$

      Pour tout réel x strictement positif, $G\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)$ donc la fonction G définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=x\left(\ln \left(x\right)-1\right)$ est une primitive de la fonction logarithme népérien.

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   2. En déduire l'expression de $F\left(x\right)$.

      La primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x\left(\ln \left(x\right)-1\right)+c={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x\ln \left(x\right)+x+c$$

      Comme $F\left(1\right)=3$ alors le réel c est solution de l'équation $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle \frac{1}{2}}-\ln \left(1\right)+1+c=3& \iff & c+{\displaystyle \frac{3}{2}}=3& \iff & c={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      F est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x\ln \left(x\right)+x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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7. Déterminer une équation de la tangente D à la courbe $C_F$ au point d'abscisse 3. Tracer la droite D sur le graphique donné en annexe.

   Une équation de la tangente D à la courbe $C_F$ au point d'abscisse 3 est :$$y=F\prime \left(3\right)\times \left(x-3\right)+F\left(3\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}F\left(3\right)={\displaystyle \frac{9}{2}}-3\ln \left(3\right)+3+{\displaystyle \frac{3}{2}}=9-3\ln 3& \text{et}& F\prime \left(3\right)=f\left(3\right)=3-\ln 3\end{array}$$

   D'où :$$\begin{array}{ccc}y=\left(3-\ln 3\right)\times \left(x-3\right)+9-3\ln 3& \iff & y=\left(3-\ln 3\right)\times x\end{array}$$

   La tangente D à la courbe $C_F$ au point d'abscisse 3 a pour équation $y=\left(3-\ln 3\right)x$.

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   La droite D passe par l'origine du repère et par le point de la courbe $C_F$ d'abscisse 3.

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