contrôles en terminale STI2D

bac blanc du 21 février 2017

thèmes abordés

Nombres complexes.
Suites.
Fonction exponentielle.
Fonction logarithme.

exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

proposition 1 : La fonction f définie pour tout réel x strictement positif par $f (x) = x \ln (x) - x$ est croissante.
proposition 2 : La forme algébrique du nombre complexe $z = \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$ est $z = - 1 + i$ .
proposition 3 : Le conjugué du nombre complexe $z = \sqrt{3} - i$ est $\bar{z} = 2 e^{i \frac{π}{6}}$ .
proposition 4 : Le cube du nombre complexe $z = 2 e^{i \frac{π}{3}}$ est égal à 8.
proposition 5 : La solution de l'équation $(2 - i) z = 4 + 3 i$ est $z = 2 - 3 i$ .

exercice 2

L'évolution de la température du lubrifiant d'un moteur en fonction du temps est modélisée par la suite $(T_{n})$ définie par $T_{0} = 20$ et, pour tout entier naturel n, $T_{n + 1} = 0,9 \times T_{n} + 3$ .
Pour tout entier naturel n, le terme $T_{n}$ de la suite $(T_{n})$ est égal à la température en degrés Celsius du lubrifiant après n minutes de fonctionnement du moteur.

partie a

1. Quelle est la température du lubrifiant lorsque le moteur ne fonctionne pas ?
2. Quelle est la température du lubrifiant après deux minutes de fonctionnement du moteur ?

Pour déterminer au bout de combien de minutes la température du du lubrifiant sera supérieure à à 28°C, on a commencé par élaborer l'algorithme suivant :

variables :	N est un entier naturel T est un nombre réel
initialisation :	Affecter à N la valeur 0 Affecter à T la valeur 20
traitement :	Tant que … Affecter à T la valeur … Affecter à N la valeur … Fin Tant que
Sortie :	Afficher N

Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.

partie b

Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $(V_{n})$ par : $V_{n} = 30 - T_{n}$ .

1. Calculer $V_{0}$ , $V_{1}$ et $V_{2}$ .
2. Vérifier que $V_{0}$ , $V_{1}$ et $V_{2}$ semblent être les termes d'une suite géométrique.
On admet que pour tout entier naturel n, on a $V_{n + 1} = 0,9 \times V_{n}$ .
1. Exprimer $V_{n}$ en fonction de n.
2. En déduire que pour tout entier naturel n, on a $T_{n} = 30 - 10 \times {0,9}^{n}$ .
Déterminer la limite de la suite $(T_{n})$ . Interpréter le résultat trouvé.
1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $30 - 10 \times {0,9}^{n} > 28$ .
2. En déduire la valeur N affichée par l'algorithme de la partie A.

exercice 3

On étudie la charge d'un condensateur et l'on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

une source de tension continue E de 10 V ;
une résistance R de 4000 Ω ;
un condensateur de capacité C de $500 \times 10^{- 6}$ F.

La tension $u (t)$ , exprimée en volt, aux bornes du condensateur est une fonction du temps t exprimé en seconde.
La fonction u est définie et dérivable sur $[0; + \infty [$ par $u (t) = 10 \times (1 - e^{- 0,5 t})$ .

On donne ci-dessous, la représentation graphique de la fonction u.

Charge du condensateur en fonction du temps

Pour caractériser le temps de charge d'un condensateur, on utilise grandeur appelée constante de temps, notée τ, exprimée en seconde . On a : $τ = R \times C$ Vérifier que $u (τ) \approx 0,63 \times E$ .
Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction u. En donner une interprétation graphique.
On note $u'$ la dérivée de la fonction u.
1. Montrer que $u' (t) = 5 e^{- 0,5 t}$ .
2. Étudier le signe de $u' (t)$ . En déduire le sens de variation de la fonction u.
Déterminer une équation de la tangente D à la courbe représentative de la fonction u au point d'abscisse 0.
Pratiquement, un condensateur est considéré comme totalement chargé au bout d'une durée T telle que $u (T) = 0,99 \times E$ .
Déterminer le temps de charge T arrondi au dixième de seconde près.

exercice 4

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé en annexe ci-dessous, la courbe $C_{F}$ représentative d'une primitive F d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
La tangente à la courbe $C_{F}$ au point A coupe l'axe des ordonnées au point B de coordonnées $(0; 2)$ .

Par lecture graphique, déterminer $F (1)$ et $f (1)$ .
La fonction f est définie pour tout réel x strictement positif par $f (x) = x - \ln (x)$ .
1. Calculer la limite de la fonction f en 0. En donner une interprétation graphique.
2. Calculer la limite de la fonction f en $+ \infty$ .
Calculer $f' (x)$ , où $f'$ est la dérivée de la fonction f.
1. Étudier le signe de $f' (x)$ suivant les valeurs du réel x.
2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
En déduire que la fonction F est strictement croissante.
1. Montrer que la fonction G définie pour tout réel x strictement positif par $G (x) = x (\ln (x) - 1)$ est une primitive de la fonction logarithme népérien.
2. En déduire l'expression de $F (x)$ .
Déterminer une équation de la tangente D à la courbe $C_{F}$ au point d'abscisse 3.
Tracer la droite D sur le graphique donné en annexe.

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