contrôle du 29 septembre 2012

Corrigé de l'exercice 2

Étudier dans chacun des cas, les variations de la fonction et donner les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction.

1. f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-x^2-2x+1$.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=-1\text{, }b=-2\text{ et }c=1$.

   $a<0$ , alors f admet un maximum atteint pour $$\begin{array}{lll}x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}& \text{Soit pour}& x=-{\displaystyle \frac{-2}{-2}}=-1\end{array}$$

   D'autre part, $$f\left(-1\right)=-1+2+1=2$$

   Tableau de variation de la fonction f :

   x	– ∞		$-1$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			2

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   Le sommet S de la parabole d'équation $y=-x^2-2x+1$ a pour coordonnées $S(-1;2)$.

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2. g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=2x^2-x-{\displaystyle \frac{3}{8}}$.

   g est une fonction polynôme du second degré avec $a=2\text{, }b=-1\text{ et }c=-{\displaystyle \frac{3}{8}}$.

   $a>0$ , alors g admet un minimum atteint pour $$\begin{array}{lll}x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}& \text{Soit pour}& x=-{\displaystyle \frac{-1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

   D'autre part, $$g\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)=2\times {\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   Tableau de variation de la fonction g :

   x	– ∞		${\displaystyle \frac{1}{4}}$		$+\infty$
   $g\left(x\right)$			$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

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   La parabole représentative de la fonction g a pour sommet $S({\displaystyle \frac{1}{4}};-{\displaystyle \frac{1}{2}})$.

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