contrôle du 29 septembre 2012

Corrigé de l'exercice 4

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

1. $-4x^2+4x+15⩾0$.

   Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)=-4x^2+4x+15$ avec $a=-4$, $b=4$ et $c=15$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4^2-4\times \left(-4\right)\times 15=256\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-4-16}{2\times \left(-4\right)}}={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-4+16}{2\times \left(-4\right)}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $P\left(x\right)=-4x^2+4x+15$ :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		${\displaystyle \frac{5}{2}}$		$+\infty$
   $P\left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

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   L'ensemble solution de l'inéquation $-4x^2+4x+15⩾0$ est $S=[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}]$

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2. $x^2+2x⩽1$.

   Pour tout nombre réel x, $$\begin{array}{ccc}{x}^2+2x⩽1& \iff & x^2+2x-1⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)=x^2+2x-1$ avec $a=1$, $b=2$ et $c=-1$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4+4=8\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-2-2\sqrt{2}}{2}}=-1-\sqrt{2}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-2+2\sqrt{2}}{2}}=-1+\sqrt{2}\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $P\left(x\right)=x^2+2x-1$ :

   x	$-\infty$		$-1-\sqrt{2}$		$\sqrt{2}-1$		$+\infty$
   $P\left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

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   L'ensemble solution de l'inéquation $x^2+2x-1⩽0$ est $S=[-1-\sqrt{2};\sqrt{2}-1]$

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3. $3x-x^2⩽x^2+4$.

   Pour tout nombre réel x, $$\begin{array}{ccc}3x-x^2⩽x^2+4& \iff & -2x^2+3x-4⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)=-2x^2+3x-4$ avec $a=-2$, $b=3$ et $c=-4$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=9-4\times \left(-2\right)\times \left(-4\right)=-23\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }<0$ donc $P\left(x\right)$ est du même signe que a Soit pour tout réel x, $-2x^2+3x-4<0$

   L'ensemble solution de l'inéquation $-2x^2+3x-4⩽0$ est $ℝ$.

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