contrôle du 29 septembre 2012

Corrigé de l'exercice 5

On donne $R=6\mathrm{\Omega }$, déterminer la résistance X pour que la résistance du montage ci-dessous soit $16\mathrm{\Omega }$.

Soit $R_2$ la résistance du dipôle constitué des deux résistances montées en parallèle X et R. Nous avons :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{R_2}}={\displaystyle \frac{1}{X}}+{\displaystyle \frac{1}{R}}& \text{Soit}& {\displaystyle \frac{1}{R_2}}={\displaystyle \frac{1}{X}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{1}{R_2}}={\displaystyle \frac{6+X}{6X}}\hfill \\ & \iff & R_2={\displaystyle \frac{6X}{6+X}}\hfill \end{array}$$

Ainsi, X est un réel positif solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}X+{\displaystyle \frac{6X}{6+X}}=16\hfill & \iff & {\displaystyle \frac{X\left(6+X\right)+6X-16\times \left(6+X\right)}{6+X}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{6X+X^2+6X-96-16X}{6+X}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{X^2-4X-96}{6+X}}=0\hfill \end{array}$$

Cherchons les solutions de l'équation du second degré $X^2-4X-96=0$ avec $a=1\text{, }b=-4\text{ et }c=-96$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=16+4\times \left(-96\right)=400\end{array}$$

$\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& X_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& X_1={\displaystyle \frac{4-20}{2}}=-8\\ \text{et}& X_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& X_2={\displaystyle \frac{4+20}{2}}=12\end{array}$$

Or X est un réel positif donc 12 est la seule solution qui convienne.

La résistance X est égale à $12\mathrm{\Omega }$.

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