contrôle du 29 septembre 2012

Corrigé de l'exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $8x^2+10x-3=0$.

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $8x^2+10x-3=0$ avec $a=8\text{, }b=10\text{ et }c=-3$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={10}^2-4\times 8\times \left(-3\right)=196\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-10-14}{2\times 8}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-10+14}{2\times 8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\{-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{1}{4}}\}$

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2. $1-3x+2x^2=0$.

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $1-3x+2x^2=0$ avec $a=2\text{, }b=-3\text{ et }c=1$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=9-4\times 2\times 1=1\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{3-1}{2\times 2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{3+1}{2\times 2}}=1\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\{{\displaystyle \frac{1}{2}};1\}$

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3. $3x^2+x=2x^2-x+2$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}3x^2+x=2x^2-x+2& \iff & x^2+2x-2=0\end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $x^2+2x-2=0$ avec $a=1\text{, }b=2\text{ et }c=-2$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4+8=12\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-2-2\sqrt{3}}{2}}=-1-\sqrt{3}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-2+2\sqrt{3}}{2}}=-1+\sqrt{3}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\{-1-\sqrt{3};\sqrt{3}-1\}$

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