contrôle du 29 janvier 2015

Corrigé de l'exercice 6

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{ı},\overrightarrow{j}\right)$ on considère les points $A\left(-1;2\right)$, $B\left(1;-3\right)$ et $C\left(4;4\right)$.

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :$$\begin{array}{cccccc}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}1+1\\ -3-2\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right)\\ \text{et}& \overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}{x}_C-x_A\\ y_C-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}4+1\\ 4-2\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\end{array}$$

   Donc $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2\times 5+\left(-5\right)\times 2=0$$

   $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.

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2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

   Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BA}$ sont $\overrightarrow{BA}\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)$. Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}{x}_C-x_B\\ y_C-y_B\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}4-1\\ 4+3\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)\end{array}$$

   Donc $$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=-2\times 3+5\times 7=29$$

   $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=29$.

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3. Calculer $\cos \left(\widehat{ABC}\right)$.

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=29& \iff & BA\times BC\times \cos \left(\widehat{ABC}\right)=29\\ & \iff & \cos \left(\widehat{ABC}\right)={\displaystyle \frac{29}{BA\times BC}}\end{array}$$

   Calculons les distances BA et BC : $$\begin{array}{llll}& \overrightarrow{BA}\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)& \text{d'où}& BA=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+5^2}=\sqrt{29}\\ \text{et}& \overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)& \text{d'où}& BC=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{58}\end{array}$$

   Par conséquent, $$\cos \left(\widehat{ABC}\right)={\displaystyle \frac{29}{BA\times BC}}={\displaystyle \frac{29}{\sqrt{29}\times \sqrt{58}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

   $\cos \left(\widehat{ABC}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

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4. En déduire la nature du triangle ABC.

   D'après les questions précédentes :

   • Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ donc le triangle ABC est rectangle en A.

   • $\cos \left(\widehat{ABC}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ donc $\widehat{ABC}=45°$.

   ABC est un triangle rectangle en A et isocèle.

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