contrôle du 29 janvier 2015

Corrigé de l'exercice 1

partie a : Lecture graphique

1. Donner la valeur de $f\prime \left(-2\right)$.

   La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-2\right)=0$.

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2. Déterminer le signe de $f\prime \left(-1\right)$ et de $f\prime \left(3\right)$.

   Sur l'intervalle $\left[-2;0\right]$ la fonction f est croissante donc $f\prime \left(-1\right)⩾0$.
   Sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ la fonction f est décroissante donc $f\prime \left(3\right)⩽0$.

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partie b

La fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x+3}{x^2+1}}$.

1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

   • $f\left(0\right)=3$. La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(0;3\right)$.

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   • Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{4x+3}{x^2+1}}=0\\ & \iff & 4x+3=0\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

     La courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}};0\right)$.

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2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2-6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$.

      f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=4x+3& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=4\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times \left(x^2+1\right)-2x\times \left(4x+3\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2+4-8x^2-6x}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-4x^2-6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2-6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel x, ${\left(x^2+1\right)}^2>0$. Par conséquent, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-4x^2-6x+4$ avec $a=-4$, $b=-6$ et $c=4$.
      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-6\right)}^2-4\times \left(-4\right)\times 4=100\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{6-10}{-8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{6+10}{-8}}=-2\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

      x	$-\infty$		$-2$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

   3. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum).

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

      x	$-\infty$		$-2$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−
      Variations de f			$-1$		4

      calcul des extremum :

      • La fonction f admet un minimum relatif pour $x=-2$ :$$f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{-8+3}{4+1}}=-1$$

      • La fonction f admet un maximum relatif pour $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{2+3}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+1}}={\displaystyle \frac{5}{{\displaystyle \frac{5}{4}}}}=4$$

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 3.
   Tracer la tangente T dans le repère précédent.

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 3 a pour équation : $$y=f\prime \left(3\right)\left(x-3\right)+f\left(3\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\left(3\right)={\displaystyle \frac{12+3}{9+1}}={\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& f\prime \left(3\right)={\displaystyle \frac{-36-18+4}{{\left(10\right)}^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   D'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-3\right)+{\displaystyle \frac{3}{2}}& \iff & y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 3 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+3$.

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   La droite T passe par les points de coordonnées $\left(0;3\right)$ et $\left(6;0\right)$.

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