contrôle du 29 janvier 2015

Corrigé de l'exercice 5

1. Démontrer que $\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right).\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)=64$.

   $$\begin{array}{lll}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right).\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)& =& \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}\end{array}$$

   Comme ABCD est un carré de côté égal à 4, nous avons :

   • $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BA}={BA}^2=16$

   • $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0$

   • $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}={BD}^2={BA}^2+{AD}^2=32$

   • $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC}={BC}^2=16$

   Par conséquent, $$\begin{array}{lll}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right).\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)& =& \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}\\ & =& 16+0+32+16=64\end{array}$$

   Ainsi, $\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right).\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)=64$.

   ---

2. En déduire le produit scalaire $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}$.

   D'après la règle du parallélogramme : $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BJ}$. D'où $$\begin{array}{lll}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right).\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)=64& \iff & \left(2\overrightarrow{BI}\right).\left(2\overrightarrow{BJ}\right)=64\\ & \iff & 4\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=64\\ & \iff & \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=16\end{array}$$

   Ainsi, $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=16$.

   ---

3. Montrer que $BI=2\sqrt{5}$.

   Dans le triangle rectangle ABI, d'après le théorème de Pythagore :$${BI}^2={BA}^2+{AI}^2=16+4=20$$

   Ainsi, $BI=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

   ---

4. Déterminer une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{IBJ}$.

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=16& \iff & BI\times BJ\times \cos \left(\widehat{IBJ}\right)=16\\ & \iff & 2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}\times \cos \left(\widehat{IBJ}\right)=16\\ & \iff & \cos \left(\widehat{IBJ}\right)={\displaystyle \frac{16}{20}}={\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}$$

   $\cos \left(\widehat{IBJ}\right)={\displaystyle \frac{4}{5}}$. Une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{IBJ}$ est $37°$.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2011 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Second degré : FonctionsSecond degré : Équation, inéquationSecond degré : ApplicationsFonctions associéesTrigonométrieFonctions circulairesDérivéeDérivée : Lecture graphiqueDérivée et variation : Étude de fonctionSuitesProduit scalaireNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.