sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\mathrm{;\infty }\right[$ par $f\left(x\right)=3x-2-2x\ln x$.

1. On donne ci-dessous le tableau de variations de f . Recopier ce tableau sur la copie.

   x		0			$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$				+	0	−
   Variations de f			− 2		$f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$		$-\infty$

   1. Justifier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur chacun des intervalles $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$ et $]\sqrt{\mathrm{e}};+\infty [$.

      f est la différence de de deux fonctions :

      $f=u-v$ d'où $f\prime =u\prime -v\prime$ avec $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=3x-2& \text{donc}& u\prime \left(x\right)=3\\ v\left(x\right)=2x\ln x& \text{donc}& v\prime \left(x\right)=2\ln x+2x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=2\ln x+2\end{array}$

      Ainsi pour tout réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)=3-\left(2\ln x+2\right)\iff f\prime \left(x\right)=1-2\ln x$

      Or pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{llll}f\prime \left(x\right)>0& \iff & 1-2\ln x>0& \\ & \iff & -2\ln x>-1& \\ & \iff & \ln x<{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{Multiplication par un réel négatif !}\\ & \iff & x<{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}& \text{Pour tout réel }x>0\text{ et pour tout réel }y\text{ , }\ln x<y\iff x<{\mathrm{e}}^y\\ & \iff & x<\sqrt{\mathrm{e}}& \text{Soit }a\text{ un réel strictement positif, }{a}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\sqrt{a}\end{array}$$

      Ainsi sur $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[\text{ , }f\prime \left(x\right)>0$ et sur $]\sqrt{\mathrm{e}};+\infty [\text{ , }f\prime \left(x\right)<0$.

      ---

   2. Calculer la valeur exacte de $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$.

      $$\begin{array}{llll}f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)& =& 3\sqrt{\mathrm{e}}-2-2\sqrt{\mathrm{e}}\ln \sqrt{\mathrm{e}}& \\ & =& 3\sqrt{\mathrm{e}}-2-\sqrt{\mathrm{e}}& \text{Car : }\ln \sqrt{\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& 2\sqrt{\mathrm{e}}-2& \end{array}$$

      La fonction f admet pour maximum $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=2\sqrt{\mathrm{e}}-2$.

      ---

2. À l'aide de ce tableau de variations, indiquer le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ dans l'intervalle $\left]0;+\mathrm{;\infty }\right[$. Si ces solutions existent, donner pour chacune d'elles la valeur décimale approchée arrondie au dixième (aucune justification n'est demandée).

   La fonction f admet pour maximum $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=2\sqrt{\mathrm{e}}-2$.

   Or $2\sqrt{\mathrm{e}}-2>0$ (la valeur approchée arrondie au millième de$2\sqrt{\mathrm{e}}-2$ obtenue à la calculatrice est égale à 1,297)

   Par lecture du tableau des variations, sur chacun des intervalles $]0;\sqrt{\mathrm{e}}]$ et $[\sqrt{\mathrm{e}};+\infty [$ , la fonction f est continue et strictement monotone. D'après le théorème de la valeur intermédiaire : Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   x		0		$x_1$	$\sqrt{\mathrm{e}}$	$x_2$	$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$				+	0	−
   Variations de f			− 2		$2\sqrt{\mathrm{e}}-2$		$-\infty$

   ---

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique sur chacun des intervalles $]0;\sqrt{\mathrm{e}}]$ et $[\sqrt{\mathrm{e}};+\infty [$.

   ---

   Recherche des valeurs approchées des solutions.

   À l'aide de la calculatrice on détermine des encadrements d'amplitude 10^-2 des deux solutions :

   • Soit x₁ la solution de l'équation $f\left(x\right)=0$ appartenant à l'intervalle $]0;\sqrt{\mathrm{e}}]$.

     $f\left(\mathrm{0,42}\right)\approx -\mathrm{0,011}$ et $f\left(\mathrm{0,43}\right)\approx \mathrm{0,016}$ ainsi $0\in [f\left(\mathrm{0,42}\right);f\left(\mathrm{0,43}\right)]$ d'où $\mathrm{0,42}⩽x_1⩽\mathrm{0,43}$ donc la valeur décimale approchée arrondie au dixième de x₁ est 0,4.

   • Soit x₂ la solution de l'équation $f\left(x\right)=0$ appartenant à l'intervalle $[\sqrt{\mathrm{e}};+\infty [$.

     $f\left(\mathrm{3,31}\right)\approx \mathrm{0,006}$ et $f\left(\mathrm{3,32}\right)\approx -\mathrm{0,008}$ ainsi $0\in [f\left(\mathrm{3,32}\right);f\left(\mathrm{3,31}\right)]$ d'où $\mathrm{3,31}⩽x_2⩽\mathrm{3,32}$ donc la valeur décimale approchée arrondie au dixième de x₂ est 3,3.

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions dont les valeurs arrondies au dixième sont $x_1=\mathrm{0,4}$ et $x_2=\mathrm{3,3}$.

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3. Indiquer, en justifiant la réponse à l'aide du tableau de variations, si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse :

   1. La courbe représentative de f admet dans le plan muni d'un repère orthonormal, une asymptote verticale d'équation $x=0$.

      Par lecture du tableau des variations nous avons $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-2$.

      Par conséquent l'affirmation a est fausse : la courbe ${𝒞}_f$ n'admet pas pour asymptote la droite d'équation $x=0$.

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   2. Toute primitive de f est strictement croissante sur l'intervalle $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$.

      Dire que F est une primitive de f sur $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$ signifie que pour tout réel $x\in ]0;\sqrt{\mathrm{e}}[\text{ , }F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

      Or sur l'intervalle $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$, la fonction f n'est pas de signe constant donc toute primitive de f n'est pas monotone.

      Par conséquent l'affirmation b est fausse : Toute primitive de f est strictement décroissante sur l'intervalle $]0;x_1]$ et strictement croissante sur l'intervalle $[x_1;\sqrt{\mathrm{e}}[$.

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