Baccalauréat novembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Lors d'un examen, Julien doit répondre à un Q.C.M.
À chaque question trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.
Pour chaque question, soit il connaît la réponse et répond de façon exacte, soit il ne la connaît pas et, dans ce cas, bien qu'il ait la possibilité de ne pas répondre, il préfère tenter sa chance et répond au hasard il a alors une chance sur trois que sa réponse soit exacte.

On suppose, de plus, que la probabilité que Julien connaisse la réponse à une question donnée est égale à 12.

On note :
C l'évènement « Julien connaît la réponse », E l'évènement « la réponse est exacte».

Rappel de notation :
pour un évènement A donné, p(A) désigne la probabilité de l'évènement A et A¯ l'évènement contraire de l'évènement A.

    1. Julien répond à une question du Q.C.M. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

      • Quand Julien connaît la réponse il répond de façon exacte alors, pC(E)=1.
      • Quand Julien ne connaît pas la réponse il répond au hasard alors, pC¯(E)=13.
      • De plus, la probabilité que Julien connaisse la réponse à une question donnée est égale à 12.

      D'où l'arbre pondéré décrivant la situation :

      Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Démontrer que : p(E)=23

      Soit Julien connaît la réponse, soit il ne la connaît pas. Alors, d'après la formule des probabilités totales : A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(E)=p(EC)+p(EC¯)

      Or :

      • p(EC)=pC(E)×p(C). D'où p(EC)=1×12=12
      • p(EC¯)=pC¯(E)×p(C¯). D'où p(EC¯)=13×12=16

      Ainsi p(E)=12+16=23

      La probabilité que Julien réponde correctement à une question est égale à 23.


    3. Calculer la probabilité que Julien connaisse la réponse à la question sachant que sa réponse est exacte.

      Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle pE(C). D'après la définition : Soit A et B deux événements relatifs à une expérience aléatoire, avec p(A)0.
      La probabilité de B sachant que A est réalisé est notée pA(B). Elle est définie par le quotient :pA(B)=p(AB)p(A)
      pE(C)=p(EC)p(E)=12×32=34

      La probabilité que Julien connaisse la réponse à la question sachant que sa réponse est exacte est égale à 34.


  1. Le Q.C.M. est composé de trois questions indépendantes. Il est noté sur 3 points. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0. Soit X la note obtenue par Julien à ce Q.C.M.

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer la loi de probabilité de X. On pourra s'aider d'un arbre. Les résultats seront donnés sous forme de fractions.

      Répondre aux trois questions du Q.C.M peut être modélisé par la répétition de 3 épreuves de Bernouilli, identiques et indépendantes, la probabilité d'un succès restant égale à 23 à chaque épreuve.

      La loi de probabilité associée au nombre de réponses exactes est une loi binomiale de paramètres 3 et 23.

      Nombre de réponses exactes 0 1 2 3
      Probabilité (13)3=127 3×(13)2×23=29 3×13×(23)2=49 (23)3=827

      Or :

      • Une bonne réponse rapporte 1 point, donc si les trois réponses sont exactes, la note obtenue est égale à 3.
      • Une mauvaise réponse enlève 0,5 point, donc si deux réponses sur trois sont exactes, la note obtenue est égale à 1,5.
      • Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0, donc si une seule des réponses est exacte ou si les trois réponses sont fausses, la note obtenue est égale à 0.

      D'où la loi de probabilité associée à la note obtenue par Julien:

      Valeurs possibles de la note X 0 1,5 3
      Probabilité 127+29=727 49 827

    2. Quelle est la probabilité que Julien ait au moins 1,5 point à ce Q.C.M. ?

      Julien obtient au moins 1,5 point à ce Q.C.M quand sa note est différente de 0

      p(X0)=1-727=2027

      La probabilité que Julien ait au moins 1,5 point à ce Q.C.M. est égale à 2027.


    3. En supposant que tous les élèves se comportent comme Julien, quelle moyenne, arrondie au centième, peut-on attendre à ce Q.C.M. ?

      Pour un nombre d'élèves suffisamment grand et ayant le même comportement que Julien, la moyenne fluctue autour de l'espérance mathématique de la loi de probabilité de X. Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques xi. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :μ=x1p1+x2p2++xnpn=i=1nxipi μ=0×727+1,5×49+3×827=149

      La moyenne arrondie au centième, qu'on peut attendre à ce Q.C.M. est égale à 1,56.



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