Baccalauréat novembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de personnes âgées de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.
On note xi l'année. L'indice i varie de 1 à 11. Par commodité on pose xi=Xi-1950.
yi désigne, en milliers, le nombre de personnes âgées de 85 ans ou plus, au 1er janvier de l'année xi .

Source : Insee, bilan démographique. Champ : France métropolitaine
xi 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
xi 0 5 10 15 20 20 30 35 40 45 50
yi 201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267
  1. Estimation à l'aide d'un graphique semi-logarithmique.

    1. Compléter le nuage de points associé à cette série statistique dans le repère semi-logarithmique fourni en annexe 2.

      Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Construire sur ce graphique la droite passant par les points M1(0;201) et M11(50;1267) et justifier que l'ajustement du nuage à l'aide de cette droite est satisfaisant.

      La droite passe suffisamment près des différents points du nuage pour que cet ajustement puisse être considéré comme satisfaisant.


    3. En supposant que cet ajustement affine reste pertinent, déterminer graphiquement à partir de quelle année le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions.

      Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      La droite d'ajustement est au dessus de la droite d'équation pour les points dont l'abscisse x est supérieure à environ 62,4.

      Donc le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions à partir de l'année dont le rang x est supérieur à 63.

      Graphiquement en supposant que cet ajustement affine reste pertinent, le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions à partir de l'année 2013.


  2. La forme du nuage obtenu avec la représentation logarithmique invite à chercher un ajustement exponentiel. On pose z=lny.

    1. Compléter la dernière ligne du tableau fourni en annexe. Arrondir les résultats au millième.

      xi 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
      xi 0 5 10 15 20 20 30 35 40 45 50
      yi 201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267
      zi 5,303 5,442 5,67 5,889 6,047 6,211 6,34 6,528 6,773 6,984 7,144
    2. En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de z en x. Les coefficients seront arrondis au millième.

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice :

      z=0,037x+5,291. (coefficients arrondis au millième)


    3. En déduire une modélisation de y en fonction de x sous la forme y=AeBx. (Le réel A sera arrondi à l'unité et le réel B au millième)

      Pour tout réel y > 0 z=ln(y)y=ez.

      Or z=0,037x+5,291 d'où y=e0,037x+5,291y=e5,291×e0,037x.

      D'autre part e5,291199 (arrondi à l'unité) d'où :

      Une modélisation de y en fonction de x est y=199e0,037x


  3. On admet que la fonction f définie sur l'intervalle [0;70] par f(x)=200e0,037x modélise de façon satisfaisante l'évolution de cette population.

    1. Résoudre l'inéquation f(x)2 000 et interpréter ce résultat.

      f(x)2 000200e0,037x2 000e0,037x100,037xln10Pour tout réel  x et pour tout réel  y>0 ,  exyxlnyxln100,037(ln100,03762,23)

      f(x)2 000xln100,037. Le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions à partir de l'année 2013.


    2. Calculer la valeur décimale approchée arrondie au millième de 150050f(x)dx.
      Que représente ce résultat pour la population étudiée ?

      150050f(x)dx=150050200e0,037xdx=150×[2000,037e0,037x]050Une primitive de  e0,037x  est :  e0,037x0,037=40,037×[e0,037x]050=40,037×(e0,037×50-1)=4e1,85-40,037579,4399

      La valeur décimale approchée arrondie au millième de 150050f(x)dx est égale à 579,44.


      Par définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle : Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que a<b.
      On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a;b], le nombre :μ=1b-aabf(x)dx

      150050f(x)dx est la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;50].

      Entre 1950 et 2000 le nombre moyen de personnes âgées de plus de 85 ans est de 579 440.



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