Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de personnes âgées de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.
On note l'année. L'indice i varie de 1 à 11. Par commodité on pose .
désigne, en milliers, le nombre de personnes âgées de 85 ans ou plus, au 1er janvier de l'année .
1950 | 1955 | 1960 | 1965 | 1970 | 1975 | 1980 | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | |
0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 20 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | |
201 | 231 | 290 | 361 | 423 | 498 | 567 | 684 | 874 | 1079 | 1267 |
Estimation à l'aide d'un graphique semi-logarithmique.
Compléter le nuage de points associé à cette série statistique dans le repère semi-logarithmique fourni en annexe 2.
Construire sur ce graphique la droite passant par les points et et justifier que l'ajustement du nuage à l'aide de cette droite est satisfaisant.
La droite passe suffisamment près des différents points du nuage pour que cet ajustement puisse être considéré comme satisfaisant.
En supposant que cet ajustement affine reste pertinent, déterminer graphiquement à partir de quelle année le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions.
La droite d'ajustement est au dessus de la droite d'équation pour les points dont l'abscisse x est supérieure à environ 62,4.
Donc le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions à partir de l'année dont le rang x est supérieur à 63.
Graphiquement en supposant que cet ajustement affine reste pertinent, le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions à partir de l'année 2013.
La forme du nuage obtenu avec la représentation logarithmique invite à chercher un ajustement exponentiel. On pose .
Compléter la dernière ligne du tableau fourni en annexe. Arrondir les résultats au millième.
1950 | 1955 | 1960 | 1965 | 1970 | 1975 | 1980 | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | |
0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 20 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | |
201 | 231 | 290 | 361 | 423 | 498 | 567 | 684 | 874 | 1079 | 1267 | |
zi | 5,303 | 5,442 | 5,67 | 5,889 | 6,047 | 6,211 | 6,34 | 6,528 | 6,773 | 6,984 | 7,144 |
En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de z en x. Les coefficients seront arrondis au millième.
Une équation de la droite d'ajustement de z en x, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice :
. (coefficients arrondis au millième)
En déduire une modélisation de y en fonction de x sous la forme . (Le réel A sera arrondi à l'unité et le réel B au millième)
Pour tout réel y > 0 .
Or d'où .
D'autre part (arrondi à l'unité) d'où :
Une modélisation de y en fonction de x est
On admet que la fonction f définie sur l'intervalle par modélise de façon satisfaisante l'évolution de cette population.
Résoudre l'inéquation et interpréter ce résultat.
. Le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions à partir de l'année 2013.
Calculer la valeur décimale approchée arrondie au millième de .
Que représente ce résultat pour la population étudiée ?
La valeur décimale approchée arrondie au millième de est égale à 579,44.
est la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle .
Entre 1950 et 2000 le nombre moyen de personnes âgées de plus de 85 ans est de 579 440.
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