sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

PARTIE A

1. $f\prime$ désigne la fonction dérivée de f sur $ℝ$.
   Déterminer graphiquement $f\left(0\right)$, $f\prime \left(0\right)$ et le signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x sur l'intervalle $\left[-6;2\right]$.

   • Le point de coordonnées $\left(0;2\right)$ appartient à la courbe $\left(𝒞\right)$ alors,$f\left(0\right)=2$.

   • La droite (T) est la tangente à cette courbe au point de coordonnées $\left(0;2\right)$ alors, le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la droite (T).

     Or la droite (T) passe par les points de coordonnées $\left(0;2\right)$ et $\left(1;5\right)$. Son coefficient directeur est :$$a={\displaystyle \frac{5-2}{1-0}}=3$$

     Ainsi $f\prime \left(0\right)=3$.

     ---

   • Les positions relatives de la courbe et de l'axe des abscisses permettent d'établir le tableau du signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x sur l'intervalle $\left[-6;2\right]$.

     x	- 6		- 1		2
     Signe de $f\left(x\right)$		−	0	+	0

   ---

2. Soit g la fonction définie pour tout x de l'intervalle $\left[0;2\right[$ par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ et $g\prime$ sa fonction dérivée.

   1. En utilisant notamment des résultats obtenus par lecture graphique de la courbe $\left(𝒞\right)$, dresser le tableau de variations de g et déterminer la limite de g en 2.

      Par hypothèse, il existe un réel α pour lequel f admet un maximum noté M. Par lecture graphique α est dans l'intervalle $\left[0;2\right[$.

      À partir du graphique nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right[$.

      x	0		$\alpha$		2
      Variations de f	2		M		0

      D'autre part, sur l'intervalle $\left[0;2\right[$ la fonction f est strictement positive.

      Donc d'après le théorème sur les variations de $\ln u$ : Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.

      Les fonctions f et $g=\ln f$ ont les mêmes variations sur un l'intervalle $\left[0;2\right[$.

      ---

      $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=0$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty$ donc $\underset{x\to 2}{\lim }\ln [f\left(x\right)]=-\infty$.

      Ainsi $\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$. Par conséquent la courbe ${𝒞}_g$ admet pour asymptote la droite d'équation $x=2$.

      ---

      Tableau des variations de la fonction g

      x	0		$\alpha$			2
      Variations de g	$\ln 2$		$\ln M$		$-\infty$

   2. Déterminer $g\prime \left(0\right)$.

      La fonction f est dérivable et strictement positive sur $\left[0;2\right[$ alors, d'après le théorème sur la dérivée de ln u Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $\ln \left(u\right)$ est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$. $$g\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(0\right)}{f\left(0\right)}}$$

      Donc $g\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

      ---

PARTIE B

Soit F une primitive de f sur $ℝ$, $F\prime$ désigne la dérivée de F sur $ℝ$.

1. Déterminer à l'aide du graphique $F\prime \left(-1\right)$ et $F\prime \left(2\right)$.

   Dire que F est une primitive de f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Donc $F\prime \left(-1\right)=f\left(-1\right)=0\text{ et }F\prime \left(2\right)=f\left(2\right)=0$.

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2. On admet qu'il est possible de trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout réel x, $F\left(x\right)=\left(a{x}^2+bx-1\right){\mathrm{e}}^x$.

   1. Exprimer $F\prime \left(x\right)$ en fonction de x et de a et b.

      F est le produit de deux fonctions :

      $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=a{x}^2+bx-1& \text{donc}& u\prime \left(x\right)=2ax+b\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{donc}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$

      Par conséquent, $F\prime \left(x\right)=\left(2ax+b\right){\mathrm{e}}^x+\left(a{x}^2+bx-1\right){\mathrm{e}}^x$

      Donc $F\prime \left(x\right)=\left(a{x}^2+\left(2a+b\right)x+b-1\right){\mathrm{e}}^x$

      ---

   2. En utilisant les résultats trouvés à la question 1 de la partie B, démontrer que pour tout x de $ℝ$, $F\left(x\right)=\left(-x^2+3x-1\right){\mathrm{e}}^x$.

      $F\prime \left(-1\right)=0$ alors, $\left(a-\left(2a+b\right)+b-1\right){\mathrm{e}}^{-1}=0$

      $F\prime \left(2\right)=0$ alors, $\left(4a+2\left(2a+b\right)+b-1\right){\mathrm{e}}^2=0$

      a et b sont donc solutions du système :$$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{r}-a-1=0\\ 8a+3b-1=0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}a& =& -1\\ -8+3b-1& =& 0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}a& =& -1\\ b& =& 3\end{array}\end{array}$$

      Ainsi pour tout réel x , $F\left(x\right)=\left(-x^2+3x-1\right){\mathrm{e}}^x$

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   3. Calculer $F\left(2\right)-F\left(-1\right)$. Interpréter graphiquement ce résultat.

      $\begin{array}{lll}F\left(2\right)-F\left(-1\right)& =& \left(-4+6-1\right){\mathrm{e}}^2-\left(-1-3-1\right){\mathrm{e}}^{-1}\\ & =& {\mathrm{e}}^2+5{\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$

      Ainsi $F\left(2\right)-F\left(-1\right)={\mathrm{e}}^2+5{\mathrm{e}}^{-1}$

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      La fonction F est une primitive de f sur $ℝ$, d'après la définition de l'intégrale d'une fonction Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I, F l'une de ses primitives et a, b deux réels appartenant à I.
      On appelle intégrale de f entre a et b le nombre $F\left(b\right)-F\left(a\right)$.Ce nombre est noté ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. $${\displaystyle {\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)}\mathrm{d}x=F\left(2\right)-F\left(-1\right)$$

      D'autre part, sur l'intervalle $\left[-1;2\right]$ la fonction f est positive alors, ${\displaystyle {\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ représente une aire. Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      $F\left(2\right)-F\left(-1\right)$ est l'aire du domaine limité par la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=2$ ; cette aire est égale à ${\mathrm{e}}^2+5{\mathrm{e}}^{-1}$ unités d'aire.

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