La courbe , donnée ci-dessous, est la représentation graphique, dans un repère orthonormal du plan d'une fonction f définie et dérivable sur . La droite (T) est la tangente à cette courbe au point de coordonnées .
On appelle α la valeur de la variable x pour laquelle f admet un maximum noté M : (la valeur de α n'est pas demandée).
On précise que , , , sont des nombres entiers.
Les parties A et B sont indépendantes.
désigne la fonction dérivée de f sur .
Déterminer graphiquement , et le signe de suivant les valeurs du réel x sur l'intervalle .
La droite (T) est la tangente à cette courbe au point de coordonnées alors, le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la droite (T).
Soit g la fonction définie pour tout x de l'intervalle par et sa fonction dérivée.
En utilisant notamment des résultats obtenus par lecture graphique de la courbe , dresser le tableau de variations de g et déterminer la limite de g en 2.
Les fonctions u et ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.
Déterminer .
Soit F une primitive de f sur , désigne la dérivée de F sur .
Déterminer à l'aide du graphique et .
Dire que F est une primitive de f sur signifie que pour tout réel x, .
On admet qu'il est possible de trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout réel x, .
Exprimer en fonction de x et de a et b.
F est le produit de deux fonctions : d'où
En utilisant les résultats trouvés à la question 1 de la partie B, démontrer que pour tout x de , .
Calculer . Interpréter graphiquement ce résultat.
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