Au 1er janvier 2000, la population d'une ville se répartit également entre locataires et propriétaires. La population globale ne varie pas mais, chaque année, pour raisons familiales ou professionnelles, 10% des propriétaires deviennent locataires tandis que 20% des locataires deviennent propriétaires.
On désigne par la probabilité qu'un habitant de la ville choisi au hasard, soit propriétaire au 1er janvier de l'année 2000 + n (n entier supérieur ou égal à 0), et par , la probabilité qu'il soit locataire.
La matrice traduit l'état probabiliste initial et la matrice (avec, pour tout n de , ) l'état probabiliste après n années.
Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste et en déduire que ce graphe a pour matrice de transition
Calculer l'état probabiliste .
Déterminer l'état stable du graphe. Que peut-on en conclure pour la population de cette ville ?
Un état probabiliste P est stable si, et seulement si, il reste le même dans la répétition de l'expérience aléatoire décrite par la matrice de transition M, c'est à dire s'il vérifie :
À l'aide de la relation , démontrer que, pour tout entier naturel n, .
Pour tout entier naturel n, .
On considère la suite définie, pour tout entier naturel n, par .
Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,7.
Dire qu'une suite est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, .
Exprimer en fonction de n et démontrer que .
Si est une suite géométrique de raison q, alors, .
Calculer la limite de la suite et retrouver le résultat de la question 1.c
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