sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de personnes âgées de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.
On note $x_i$ l'année. L'indice i varie de 1 à 11. Par commodité on pose $x_i=X_i-1950$.
$y_i$ désigne, en milliers, le nombre de personnes âgées de 85 ans ou plus, au 1^er janvier de l'année $x_i$ .

Source : Insee, bilan démographique. Champ : France métropolitaine

$x_i$	1950	1955	1960	1965	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000
$x_i$	0	5	10	15	20	20	30	35	40	45	50
$y_i$	201	231	290	361	423	498	567	684	874	1079	1267

1. Estimation à l'aide d'un graphique semi-logarithmique.

   1. Compléter le nuage de points associé à cette série statistique dans le repère semi-logarithmique fourni en annexe 2.

   2. Construire sur ce graphique la droite passant par les points $M_1\left(0;201\right)$ et $M_{11}\left(50;1267\right)$ et justifier que l'ajustement du nuage à l'aide de cette droite est satisfaisant.

   3. En supposant que cet ajustement affine reste pertinent, déterminer graphiquement à partir de quelle année le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions.

2. La forme du nuage obtenu avec la représentation logarithmique invite à chercher un ajustement exponentiel. On pose $z=\ln y$.

   1. Compléter la dernière ligne du tableau fourni en annexe. Arrondir les résultats au millième.

   2. En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de z en x. Les coefficients seront arrondis au millième.

   3. En déduire une modélisation de y en fonction de x sous la forme $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$. (Le réel A sera arrondi à l'unité et le réel B au millième)

      Pour tout réel $x>0\text{ , }y=\ln x\iff x={\mathrm{e}}^y$.

3. On admet que la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;70\right]$ par $f\left(x\right)=200{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,037}x}$ modélise de façon satisfaisante l'évolution de cette population.

   1. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩾\mathrm{2\; 000}$ et interpréter ce résultat.

      Pour tout réel x et pour tout réel y > 0 , ${\mathrm{e}}^x⩾y\iff x⩾\ln y$.

   2. Calculer la valeur décimale approchée arrondie au millième de ${\displaystyle \frac{1}{50}}{\displaystyle {\int }_0^{50}f\left(x\right)}\mathrm{d}x$.
      Que représente ce résultat pour la population étudiée ?

      définition

      Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
      On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

ANNEXE 2

$x_i$	1950	1955	1960	1965	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000
$x_i$	0	5	10	15	20	20	30	35	40	45	50
$y_i$	201	231	290	361	423	498	567	684	874	1079	1267
zi

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