sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\mathrm{;\infty }\right[$ par $f\left(x\right)=3x-2-2x\ln x$.

1. On donne ci-dessous le tableau de variations de f . Recopier ce tableau sur la copie.

   1. Justifier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur chacun des intervalles $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$ et $]\sqrt{\mathrm{e}};+\infty [$.

      Étudier le signe de la dérivée $f\prime \left(x\right)$

   2. Calculer la valeur exacte de $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$.

   x		0			$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$				+	0	−
   Variations de f			− 2		$f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$		$-\infty$

2. À l'aide de ce tableau de variations, indiquer le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ dans l'intervalle $\left]0;+\mathrm{;\infty }\right[$. Si ces solutions existent, donner pour chacune d'elles la valeur décimale approchée arrondie au dixième (aucune justification n'est demandée).

   Théorème de la valeur intermédiaire :

   Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

3. Indiquer, en justifiant la réponse à l'aide du tableau de variations, si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse :

   1. La courbe représentative de f admet dans le plan muni d'un repère orthonormal, une asymptote verticale d'équation $x=0$.

      Par lecture du tableau des variations $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=$ ?

   2. Toute primitive de f est strictement croissante sur l'intervalle $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$.

      Étudier le signe de f sur l'intervalle $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$.

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