Baccalauréat novembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Soit la fonction f définie sur l'intervalle 0+;∞ par fx=3x-2-2xlnx.

  1. On donne ci-dessous le tableau de variations de f . Recopier ce tableau sur la copie.

    1. Justifier le signe de fx sur chacun des intervalles ]0;e[ et ]e;+[.

    2. Calculer la valeur exacte de fe.

    x   0     e   + ∞
    Signe de fx       + 0  
    Variations de f      

    − 2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    fe

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    − ∞


  2. À l'aide de ce tableau de variations, indiquer le nombre de solutions de l'équation fx=0 dans l'intervalle 0+;∞. Si ces solutions existent, donner pour chacune d'elles la valeur décimale approchée arrondie au dixième (aucune justification n'est demandée).

  3. Indiquer, en justifiant la réponse à l'aide du tableau de variations, si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse :

    1. La courbe représentative de f admet dans le plan muni d'un repère orthonormal, une asymptote verticale d'équation x=0.

    2. Toute primitive de f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;e[.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Lors d'un examen, Julien doit répondre à un Q.C.M.
À chaque question trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.
Pour chaque question, soit il connaît la réponse et répond de façon exacte, soit il ne la connaît pas et, dans ce cas, bien qu'il ait la possibilité de ne pas répondre, il préfère tenter sa chance et répond au hasard il a alors une chance sur trois que sa réponse soit exacte.

On suppose, de plus, que la probabilité que Julien connaisse la réponse à une question donnée est égale à 12.

On note :
C l'évènement « Julien connaît la réponse », E l'évènement « la réponse est exacte ».

Rappel de notation :
pour un évènement A donné, p(A) désigne la probabilité de l'évènement A et A¯ l'évènement contraire de l'évènement A.

    1. Julien répond à une question du Q.C.M. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    2. Démontrer que : pE=23

    3. Calculer la probabilité que Julien connaisse la réponse à la question sachant que sa réponse est exacte.

  1. Le Q.C.M. est composé de trois questions indépendantes. Il est noté sur 3 points. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0. Soit X la note obtenue par Julien à ce Q.C.M.

    1. Déterminer la loi de probabilité de X. On pourra s'aider d'un arbre. Les résultats seront donnés sous forme de fractions.

    2. Quelle est la probabilité que Julien ait au moins 1,5 point à ce Q.C.M. ?

    3. En supposant que tous les élèves se comportent comme Julien, quelle moyenne, arrondie au centième, peut-on attendre à ce Q.C.M. ?


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Au 1er janvier 2000, la population d'une ville se répartit également entre locataires et propriétaires. La population globale ne varie pas mais, chaque année, pour raisons familiales ou professionnelles, 10% des propriétaires deviennent locataires tandis que 20% des locataires deviennent propriétaires.

  1. On désigne par pn la probabilité qu'un habitant de la ville choisi au hasard, soit propriétaire au 1er janvier de l'année 2000 + n (n entier supérieur ou égal à 0), et par ln, la probabilité qu'il soit locataire.
    La matrice P0=0,50,5 traduit l'état probabiliste initial et la matrice Pn=pnln (avec, pour tout n de , pn+ln=1) l'état probabiliste après n années.

    1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste et en déduire que ce graphe a pour matrice de transition M=0,90,10,20,8

    2. Calculer l'état probabiliste P1.

    3. Déterminer l'état stable du graphe. Que peut-on en conclure pour la population de cette ville ?

  2. À l'aide de la relation Pn+1=Pn×M, démontrer que, pour tout entier naturel n, pn+1=0,7pn+0,2 .

  3. On considère la suite un définie, pour tout entier naturel n, par un=pn-23.

    1. Démontrer que la suite un est une suite géométrique de raison 0, 7.

    2. Exprimer un en fonction de n et démontrer que pn=-16×0,7n+23.

    3. Calculer la limite de la suite pn et retrouver le résultat de la question 1.c


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

La courbe 𝒞, donnée ci-dessous, est la représentation graphique, dans un repère orthonormal Oıȷ du plan d'une fonction f définie et dérivable sur . La droite (T) est la tangente à cette courbe au point de coordonnées 02.
On appelle α la valeur de la variable x pour laquelle f admet un maximum noté M : M=fα (la valeur de α n'est pas demandée).
On précise que f-1, f0, f2, f0 sont des nombres entiers.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les parties A et B sont indépendantes.

PARTIE A

  1. f désigne la fonction dérivée de f sur .
    Déterminer graphiquement f0, f0 et le signe de fx suivant les valeurs du réel x sur l'intervalle -62.

  2. Soit g la fonction définie pour tout x de l'intervalle 02 par gx=lnfx et g sa fonction dérivée.

    1. En utilisant notamment des résultats obtenus par lecture graphique de la courbe 𝒞, dresser le tableau de variations de g et déterminer la limite de g en 2.

    2. Déterminer g0.

PARTIE B

Soit F une primitive de f sur , F désigne la dérivée de F sur .

  1. Déterminer à l'aide du graphique F-1 et F2.

  2. On admet qu'il est possible de trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout réel x, Fx=ax2+bx-1ex.

    1. Exprimer Fx en fonction de x et de a et b.

    2. En utilisant les résultats trouvés à la question 1 de la partie B, démontrer que pour tout x de , Fx=-x2+3x-1ex.

    3. Calculer F2-F-1. Interpréter graphiquement ce résultat.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de personnes âgées de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.
On note xi l'année. L'indice i varie de 1 à 11. Par commodité on pose xi=Xi-1950.
yi désigne, en milliers, le nombre de personnes âgées de 85 ans ou plus, au 1er janvier de l'année xi .

Source : Insee, bilan démographique. Champ : France métropolitaine
xi 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
xi 0 5 10 15 20 20 30 35 40 45 50
yi 201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267
  1. Estimation à l'aide d'un graphique semi-logarithmique.

    1. Compléter le nuage de points associé à cette série statistique dans le repère semi-logarithmique fourni en annexe 2.

    2. Construire sur ce graphique la droite passant par les points M10201 et M11501267 et justifier que l'ajustement du nuage à l'aide de cette droite est satisfaisant.

    3. En supposant que cet ajustement affine reste pertinent, déterminer graphiquement à partir de quelle année le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions.

  2. La forme du nuage obtenu avec la représentation logarithmique invite à chercher un ajustement exponentiel. On pose z=lny.

    1. Compléter la dernière ligne du tableau fourni en annexe. Arrondir les résultats au millième.

    2. En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de z en x. Les coefficients seront arrondis au millième.

    3. En déduire une modélisation de y en fonction de x sous la forme y=AeBx. (Le réel A sera arrondi à l'unité et le réel B au millième)

  3. On admet que la fonction f définie sur l'intervalle 070 par fx=200e0,037x modélise de façon satisfaisante l'évolution de cette population.

    1. Résoudre l'inéquation fx2 000 et interpréter ce résultat.

    2. Calculer la valeur décimale approchée arrondie au millième de 150050fxdx.
      Que représente ce résultat pour la population étudiée ?

ANNEXE 2

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
xi 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
xi 0 5 10 15 20 20 30 35 40 45 50
yi 201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267
zi                      


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