sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Au 1^er janvier 2000, la population d'une ville se répartit également entre locataires et propriétaires. La population globale ne varie pas mais, chaque année, pour raisons familiales ou professionnelles, 10% des propriétaires deviennent locataires tandis que 20% des locataires deviennent propriétaires.

1. On désigne par $p_n$ la probabilité qu'un habitant de la ville choisi au hasard, soit propriétaire au 1^er janvier de l'année 2000 + n (n entier supérieur ou égal à 0), et par $l_n$, la probabilité qu'il soit locataire.
   La matrice $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$ traduit l'état probabiliste initial et la matrice $P_n=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& l_n\end{array}\right)$ (avec, pour tout n de $\mathbb{N}$, $p_n+l_n=1$) l'état probabiliste après n années.

   1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste et en déduire que ce graphe a pour matrice de transition $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

      Notons P l'état "être propriétaire" et L l'état "être locataire". La population globale ne varie pas et chaque année :

      • 10% des propriétaires deviennent locataires, alors la probabilité de passer de l'état P à l'état L est égale à 0,1 et la probabilité de rester dans l'état P est égale à 0,9.
      • 20% des locataires deviennent propriétaires, alors la probabilité de passer de l'état L à l'état P est égale à 0,2 et la probabilité de rester dans l'état L est égale à 0,8.

      La situation, peut être représentée à l'aide du graphe probabiliste suivant :

      La matrice de transition de ce graphe est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

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   2. Calculer l'état probabiliste $P_1$.

      L'état probabiliste $P_1=P_0\times M$

      Soit :$$\begin{array}{lll}{P}_1& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,9}+\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,2}& \mathrm{0,5}\times \mathrm{0,1}+\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\end{array}\right)\end{array}$$

      Ainsi l'état probabiliste $P_1$ est $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\end{array}\right)$

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   3. Déterminer l'état stable du graphe. Que peut-on en conclure pour la population de cette ville ?

      La matrice de transition M ne comporte pas de 0 alors, l'état $P_n$ converge vers un état stable P indépendant de l'état initial $P_0$.
      Soit $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ l'état stable alors P est solution de l'équation : ( voir le théorème ) Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
      —  l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
      —  de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$. $$P=P\times M\text{ avec }x+y=1$$

      Soit x et y solutions de :$$\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\text{ et }x+y=1$$

      Or, $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$ équivaut à : $\{\begin{array}{c}x=\mathrm{0,9}x+\mathrm{0,2}y\\ y=\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,8}y\end{array}$ c'est à dire $\{\begin{array}{c}\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}y=0\\ -\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}y=0\end{array}$

      D'où en regroupant les deux conditions, $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\text{ et }x+y=1$, x et y sont les solutions du système : $$\begin{array}{lll}\left(S\right):\{\begin{array}{r}\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}y=0\\ x+y=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{r}\mathrm{0,3}x=\mathrm{0,2}\\ x+y=1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{r}x={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ y={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$. Sur le long terme, la répartition au sein de la population de cette ville entre les locataires et les propriétaires, évolue vers : ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ propriétaires et ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ locataires.

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2. À l'aide de la relation $P_{n+1}=P_n\times M$, démontrer que, pour tout entier naturel n, $p_{n+1}=\mathrm{0,7}{p}_n+\mathrm{0,2}$.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{lll}{P}_{n+1}=P_n\times M& \iff & \left(\begin{array}{cc}{p}_{n+1}& l_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& l_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & \iff & \left(\begin{array}{cc}{p}_{n+1}& l_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}{p}_n+\mathrm{0,2}{l}_n& \mathrm{0,1}{p}_n+\mathrm{0,8}{l}_n\end{array}\right)\end{array}$$

   D'où pour tout entier naturel n, $p_{n+1}=\mathrm{0,9}{p}_n+\mathrm{0,2}{l}_n$

   Or pour tout entier naturel n, $p_n+l_n=1\iff l_n=1-p_n$

   Par conséquent, $$\begin{array}{lll}{p}_{n+1}& =& \mathrm{0,9}{p}_n+\mathrm{0,2}\left(1-p_n\right)\\ & =& \mathrm{0,7}{p}_n+\mathrm{0,2}\end{array}$$

   Ainsi pour tout entier naturel n, $p_{n+1}=\mathrm{0,7}{p}_n+\mathrm{0,2}$.

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3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel n, par $u_n=p_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0, 7.

      Montrons qu'il existe un réel q tel que : $u_{n+1}=q{u}_n$ pour tout entier n. (Voir la définition d'une suite géométrique.) Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

      On a pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=p_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

      Or d'après la question précédente $p_{n+1}=\mathrm{0,7}{p}_n+\mathrm{0,2}$

      Donc pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}=\left(\mathrm{0,7}{p}_n+\mathrm{0,2}\right)-{\displaystyle \frac{2}{3}}& \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,7}{p}_n-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,4}}{3}}\\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,7}\times \left(p_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\end{array}$$

      Ainsi pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,7}{u}_n$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,7}$.

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   2. Exprimer $u_n$ en fonction de n et démontrer que $p_n=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\mathrm{0,7}}^n+{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

      $u_0=p_0-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ et de raison $q=\mathrm{0,7}$ alors d'après , la propriété des suites géométriques : Si ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier n : $$u_n=u_0\times q^n$$ et, plus généralement, pour tout entier $n⩾p$ : $u_n=u_p{u}^{n-p}$ avec $p\in \mathbb{N}$.

      pour tout entier naturel n, $u_n=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\left(\mathrm{0,7}\right)}^n$

      Or pour tout entier naturel n, $u_n=p_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

      Donc pour tout entier naturel n, $p_n=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\mathrm{0,7}}^n+{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

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   3. Calculer la limite de la suite $\left(p_n\right)$ et retrouver le résultat de la question 1.c

      $0<\mathrm{0,7}<1$ donc : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\mathrm{0,7}\right)}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\mathrm{0,7}}^n+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{2}{3}}$

      Ainsi la suite $\left(p_n\right)$ converge vers ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. À partir d'un certain nombre d'années , d'une année sur l'autre, les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de la population de la ville seront propriétaires.

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