question 1

La probabilité de l'évènement E est égale à :

D'après l'arbre, A et B forment une partition de l'ensemble des évènements élémentaires de l'expérience aléatoire alors d'après la formule des probabilités totales :A ₁, A ₂, ..., A _n forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un évènement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$

$p\left(E\right)=p\left(E\cap A\right)+p\left(E\cap B\right)$.

Or $p\left(E\cap A\right)=p_A\left(E\right)\times p\left(A\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,35}=\mathrm{0,035}$ et $p\left(E\cap B\right)=p_B\left(E\right)\times p\left(B\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,65}=\mathrm{0,325}$

Donc $p\left(E\right)=\mathrm{0,035}+\mathrm{0,325}=\mathrm{0,36}$

a. 0,5          b. 0,1         c. 0,6        d. 0,36

question 2

Les évènements A et G étant supposés indépendants, x est égal à :

A et G sont deux évènements indépendants d'où : (Voir la définition.)On considère deux évènements A et B de probabilités non nulles.
Dire que deux évènements A, B sont indépendants signifie que :$$p_A\left(B\right)=p\left(B\right)$$$$p\left(G\right)=p_A\left(G\right)=\mathrm{0,3}$$

Or, d'après la formule des probabilités totales, la probabilité de l'évènement G est aussi égale à : $$p\left(G\right)=p\left(G\cap A\right)+p\left(G\cap B\right)$$

Comme $p\left(G\cap A\right)=p_A\left(G\right)\times p\left(A\right)=\mathrm{0,35}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,105}$ et $p\left(G\cap B\right)=p_B\left(G\right)\times p\left(B\right)=\mathrm{0,65}x$

Donc x est solution de l'équation : $\mathrm{0,105}+\mathrm{0,65}x=\mathrm{0,3}$

Soit $x={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}-\mathrm{0,105}}{\mathrm{0,65}}}=\mathrm{0,3}$

a. 0,35         b. 0,1         c. 0,3         d. 0,36

question 3

Ici la situation probabiliste est associée à une expérience aléatoire schématisée par l'arbre ci-contre.
Cette expérience aléatoire est répétée quatre fois de façon indépendante.
La probabilité d'obtenir au moins une fois l'évènement A est égale à :

Répéter quatre fois de façon indépendante l'expérience aléatoire qui n'a que deux issues A ou B est la répétition de quatre épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes.
La loi de probabilité associée au nombre de réalisation de l'évènement A est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,35.

L'évènement "obtenir au moins une fois l'évènement A" est l'évènement contraire de l'évènement "ne pas obtenir l'évènement A quatre fois de suite".

Or la probabilité d'obtenir quatre échecs consécutifs est: ${\left(\mathrm{0,65}\right)}^4$.

Par conséquent la probabilité d'obtenir au moins une fois l'évènement A est : $1-{\left(\mathrm{0,65}\right)}^4=\mathrm{0,821\; 493\; 75}$

a. 0,35         b. 0,821 493 75         c. 0,178 506 25         d. 0,015 006 25