sujet : asie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour fabriquer un alliage, une usine utilise deux métaux A et B en quantités x et y exprimées en tonnes. Le coût de production qui en résulte, exprimé en milliers d'euros, est donné par la formule : $C\left(x;y\right)=2x+\mathrm{0,5}{y}^2+4$.
La figure 1 représente la surface d'équation $z=C\left(x;y\right)$ pour$0⩽x⩽20$ et $0⩽y⩽12$.
La figure 2 représente les courbes de niveau de cette surface pour z variant de 20 en 20.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de deux questions, chacune comportant quatre propositions de réponse dont une seule est exacte.
Une bonne réponse rapportera 0,5 point. Une mauvaise réponse sera pénalisée de 0,25 point. Si le total des points de cette partie est négatif, la note attribuée sera 0. Les réponses seront indiquées sur la copie. Aucune justification n'est demandée.

1. Lequel des points donnés ci-contre est un point de la surface d'équation $z=C\left(x;y\right)$ ? Dire qu'un point $A\left(x;y;z\right)$ est un point de la surface d'équation $z=C\left(x;y\right)$ équivaut à x, y et z vérifient l'équation $z=2x+\mathrm{0,5}{y}^2+4$. Avec $M\left(13;9;60\right)\text{: }2\times 13+\mathrm{0,5}\times 9^2+4=\mathrm{70,5}$. Donc M n'est pas un point de la surface. Avec $N\left(12;4;40\right)\text{: }2\times 12+\mathrm{0,5}\times 4^2+40=36$. Donc N n'est pas un point de la surface. Avec $R\left(12;8;60\right)\text{: }2\times 12+\mathrm{0,5}\times 8^2+4=60$. Donc R est un point de la surface.

$M\left(13;9;60\right)$ $N\left(12;4;40\right)$ $R\left(12;8;60\right)$ $S\left(15;4;40\right)$

2. La courbe de niveau $z=20$ est : Une équation de la courbe de niveau $z=20$ est : $2x+\mathrm{0,5}{y}^2+4=20$ Soit $x=\mathrm{0,25}{y}^2+8$. C'est l'équation d'une parabole.

Une parabole Une droite Une hyperbole Autre réponse

partie b

Les métaux A et B sont achetés respectivement 0,5 et 1 millier d'euros la tonne. L'entreprise affecte 11 milliers d'euros à l'achat des métaux.

1. Un exemple :
   Si l'entreprise achète 4 tonnes de métal A, combien de tonnes de métal B achète-t-elle ?

   Soit y la quantité de métal B achetée alors y est solution de l'équation $$\mathrm{0,5}\times 4+y=11\iff y=11-2=9$$

   Si l'entreprise achète 4 tonnes de métal A, elle peut acheter 9 de tonnes de métal B.

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2. Cas général :
   Soit x la quantité de métal A et y la quantité de métal B achetées : montrer que x et y sont liés par la relation $x+2y=22$.

   Soit x la quantité de métal A achetée au prix de 0,5 millier d'euros la tonne et y la quantité de métal B achetée au prix de 1 millier d'euros la tonne alors x et y sont liés par la relation : $$\mathrm{0,5}x+y=11\iff x+2y=22$$

   Ainsi x et y sont liés par la relation $x+2y=22$.

   ---

3. 1. Tracer sur la figure 2 l'ensemble des points dont l'équation est $x+2y=22$.

      L'ensemble des points dont l'équation est $x+2y=22$ est un plan dont la projection sur le plan de base (xOy) est la droite d'équation $x+2y=22$.

      Sur la figure 2 ci-dessous est tracée la droite d'équation $x+2y=22$ passant par les points de coordonnées $\left(0;11;0\right)$ et $\left(20;1;0\right)$.

      ---

   2. En déduire, graphiquement le coût minimum de production des alliages pour un investissement de 11 milliers d'euros et les quantités correspondantes des métaux A et B achetées.

      On recherche le niveau minimal en z situé à l'intersection de la surface avec le plan d'équation $x+2y=22$.

      Sur la figure 2 ci-dessus c'est la courbe de niveau $z=40$ qui correspond au coût minimal cherché. La parabole représentant la courbe de niveau $z=40$ est tangente à la droite d'investissement au point $A\left(14;4;40\right)$.

      Pour un investissement de 11 milliers d'euros le coût minimum de production est de 40 milliers d'euros en achetant, 14 tonnes du métal A et 4 tonnes du métal B.

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   Remarque:

   On peut également trouver le coût minimal par le calcul.

   • $x+2y=22\iff x=22-2y$

   • Exprimons $z=C\left(x;y\right)$ en fonction de y à l'aide de la contrainte liée à l'investissement.

     $z=2(22-2y)+\mathrm{0,5}{y}^2+4\iff z=\mathrm{0,5}{y}^2-4y+48$

   • La fonction $g:y\to \mathrm{0,5}{y}^2-4y+48$ admet un mimnimum pour $y_0=-{\displaystyle \frac{-4}{2\times \mathrm{0,5}}}=4$

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