Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du prix d'une matière première.
On ne fera qu'un seul graphique qui sera complété tout au long des questions.

PARTIE A

Le tableau suivant donne le prix d'une tonne de matière première en milliers d'euros au 1^er janvier de chaque année :

Année	1998	1999	2000	2001
Rang de l'année $x_{i}$	0	1	2	3
Prix d'une tonne en milliers d'euro $y_{i}$	6,48	5,74	5,19	5,01

Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}; y_{i})$ , le plan étant rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un millier d'euros sur l'axe des ordonnées).
Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l'évolution du prix de cette matière première.
1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats seront donnés à 10^-3 près).
2. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 ?
  
  Au 1^er janvier 2005 est associé le rang 7.

PARTIE B

En fait, à partir de l'année 2001, le prix d'une tonne de cette matière première commence à remonter, comme le montre le tableau suivant :

Année	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année $x_{i}$	3	4	5	6
Prix d'une tonne en milliers d'euro $y_{i}$	5,01	5,10	5,20	5,52

Placer sur le graphique de la partie A les points associés à ce deuxième tableau.
On désire trouver une fonction qui modélise l'évolution de ce prix sur la période 1998–2008.
Pour cela, on considère la fonction f définie pour tout x de l'intervalle $[0; 11]$ par : $f (x) = x + 10 - 5 \ln (x + 2)$ .
On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle, et on notera $f'$ sa fonction dérivée.
1. Donner un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs de x entières comprises entre 0 et 11. Les valeurs de la fonction seront arrondies à 10^-2.
2. Calculer $f' (x)$ , puis étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $[0; 11]$ .
  Dresser son tableau de variations. Les valeurs des extremums seront données à 10^-2 près.
  
  Théorème.
  
  Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ .
3. Tracer la courbe $(𝒞)$ représentative de la fonction f sur le graphique de la partie A.
On admet que la fonction f modélise l'évolution du prix de cette matière première sur la période 1998–2008.
1. Selon ce modèle, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 ?
  
  Calculer $f (7)$
2. Déterminer en quelle année le prix d'une tonne de matière première retrouvera sa valeur de 1998.
  
  Résoudre $f (x) = 6,48$

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