sujet : asie

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{20}{1+15{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}}}$

On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle.

1. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat.

   Limites des fonctions composées :
   $\underset{x\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,4}x=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=\cdots$

2. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction $f:x\to {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ est dérivable sur I et pour tout réel x de I, $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\times u\prime \left(x\right)$.

partie b

La fonction f modélise sur l'intervalle $\left[0;14\right]$ la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée Γ, est donnée ci-dessous.

Pour une quantité de produit q, exprimée en tonnes et comprise entre 0 et 14, on pose donc : $f\left(q\right)={\displaystyle \frac{20}{1+15{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}q}}}$

Pour tout q dans l'intervalle $\left]0;14\right]$, le quotient ${\displaystyle \frac{f\left(q\right)}{q}}$ est appelé coût moyen de production de q tonnes de produit.

1. Pour q dans l'intervalle $\left]0;14\right]$, soit Q le point d'abscisse q de la représentation graphique (Γ) de la fonction f.
   Montrer que le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal au coût moyen ${\displaystyle \frac{f\left(q\right)}{q}}$.

   Soit $M\left(x;y\right)$ un point n'appartenant pas à l'axe (Oy), le coefficient directeur de la droite (OM) est égal à : ${\displaystyle \frac{y}{x}}$.

2. L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
   Par lecture graphique indiquer la valeur de q qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.

Graphiquement le coût moyen de production est minimal pour un point M de la courbe (Γ) tel que le coefficient directeur de la droite (OM) soit le plus petit possible.

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