Soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle par : . On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle.
Déterminer la limite de la fonction f en . Interpréter graphiquement le résultat.
et d'où et,
Par conséquent,
Ainsi . La droite d'équation est asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de .
Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Sur l'intervalle , d'où avec pour tout réel x positif et .
Par conséquent pour tout réel x positif :
Comme pour tout réel x, il s'ensuit que pour tout réel x de l'intervalle , .
Pour tout réel x positif, donc la fonction f est croissante sur l'intervalle .
La fonction f modélise sur l'intervalle la fonction coût total de production, en euro, d'un produit. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée Γ, est donnée ci-dessous.
Pour une quantité de produit q, exprimée en tonnes et comprise entre 0 et 14, on pose donc : . Pour tout q dans l'intervalle , le quotient est appelé coût moyen de production de q tonnes de produit.
Pour q dans l'intervalle , soit Q le point d'abscisse q de la représentation graphique (Γ) de la fonction f. Montrer que le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal au coût moyen .
Soit Q un point de la courbe (Γ) d'abscisse , les coordonnées du point Q sont : . Par conséquent le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal à .
Ainsi le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal au coût moyen .
L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production. Par lecture graphique indiquer la valeur de q qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
Graphiquement le coût moyen de production est minimal pour un point M de la courbe (Γ) tel que le coefficient directeur de la droite (OM) soit le plus petit possible.
Il s'agit donc de trouver un point M de la courbe (Γ) tel que l'angle soit le plus petit possible.
Sur le graphique la quantité de produit qui permet d'obtenir un coût moyen minimal est d'environ 3 tonnes ce qui donne un coût minimal de
Le coût moyen minimum est de 1,21 € pour une production de 3 tonnes.
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