Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle [0;+[ par : f(x)=201+15e-0,4x. On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle.

  1. Déterminer la limite de la fonction f en +. Interpréter graphiquement le résultat.

    limx+-0,4x=- et limX-eX=0 d'où limx+e-0,4x=0 et, limx+1+15e-0,4x=1

    Par conséquent, limx+201+15e-0,4x=20

    Ainsi limx+f(x)=20. La droite d'équation y=20 est asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de +.


  2. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0;+[.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    Sur l'intervalle [0;+[, f=20v d'où f=-20vv2 avec pour tout réel x positif v(x)=1+15e-0,4x et v(x)=15×(-0,4)×e-0,4x=-6e-0,4x.

    Par conséquent pour tout réel x positif : f(x)=-20×(-6e-0,4x)(1+15e-0,4x)2=120e-0,4x(1+15e-0,4x)2

    Comme pour tout réel x, e-0,4x>0 il s'ensuit que pour tout réel x de l'intervalle [0;+[, 120e-0,4x(1+15e-0,4x)2>0.

    Pour tout réel x positif, f(x)>0 donc la fonction f est croissante sur l'intervalle [0;+[.


partie b

La fonction f modélise sur l'intervalle [0;14] la fonction coût total de production, en euro, d'un produit. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée Γ, est donnée ci-dessous.
Pour une quantité de produit q, exprimée en tonnes et comprise entre 0 et 14, on pose donc : f(q)=201+15e-0,4q. Pour tout q dans l'intervalle ]0;14], le quotient f(q)q est appelé coût moyen de production de q tonnes de produit.

  1. Pour q dans l'intervalle ]0;14], soit Q le point d'abscisse q de la représentation graphique (Γ) de la fonction f. Montrer que le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal au coût moyen f(q)q.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Soit Q un point de la courbe (Γ) d'abscisse q0, les coordonnées du point Q sont : Q(q;f(q)). Par conséquent le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal à f(q)q.

    Ainsi le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal au coût moyen f(q)q.


  2. L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production. Par lecture graphique indiquer la valeur de q qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.

    Graphiquement le coût moyen de production est minimal pour un point M de la courbe (Γ) tel que le coefficient directeur de la droite (OM) soit le plus petit possible.
    Il s'agit donc de trouver un point M de la courbe (Γ) tel que l'angle xOM^ soit le plus petit possible.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Sur le graphique la quantité de produit qui permet d'obtenir un coût moyen minimal est d'environ 3 tonnes ce qui donne un coût minimal de 203×(1+15e-0,4×3)1,21

    Le coût moyen minimum est de 1,21 € pour une production de 3 tonnes.



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