sujet : asie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du prix d'une matière première. On ne fera qu'un seul graphique qui sera complété tout au long des questions.

partie a

1. Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_i;y_i)$, le plan étant rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un millier d'euros sur l'axe des ordonnées).

2. Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l'évolution du prix de cette matière première.

   1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats seront donnés à 10^-3 près).

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est :

      $y=-\mathrm{0,496}x+\mathrm{6,349}$ (calculs effectués à la calculatrice coefficients donnés à 10^-3près)

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   2. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 ?

      Au 1^er janvier 2005 est associé le rang 7.

      Or $-\mathrm{0,496}\times 7+\mathrm{6,349}=\mathrm{2,877}$

      Ainsi, le prix d'une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 serait de 2877 euros.

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partie b

1. Placer sur le graphique de la partie A les points associés à ce deuxième tableau.

2. On désire trouver une fonction qui modélise l'évolution de ce prix sur la période 1998–2008.
   Pour cela, on considère la fonction f définie pour tout x de l'intervalle $\left[0;11\right]$ par : $f\left(x\right)=x+10-5\ln \left(x+2\right)$ . On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle, et on notera $f\prime$ sa fonction dérivée.

   1. Donner un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs de x entières comprises entre 0 et 11. Les valeurs de la fonction seront arrondies à 10^-2.

      x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
      $f\left(x\right)$	6,53	5,51	5,07	4,95	5,04	5,27	5,6	6,01	6,49	7,01	7,58	8,18

   2. Calculer $f\prime \left(x\right)$, puis étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;11\right]$. Dresser son tableau de variations. Les valeurs des extremums seront données à 10^-2 près.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;11\right]$, $x+2>0$.

      Par conséquent la fonction : $x\mapsto \ln \left(x+2\right)$ est dérivable et sa dérivée est la fonction : $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x+2}}$ (Voir le théorème)Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors $(\ln u)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

      Ainsi $f\prime \left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{5}{x+2}}$

      ---

      Pour étudier les variations de la fonction f nous étudions d'abord le signe de sa dérivée.

      Or $1-{\displaystyle \frac{5}{x+2}}={\displaystyle \frac{x-3}{x+2}}$. Sur l'intervalle $\left[0;11\right]$, $x+2>0$ et d'autre part, $x-3>0\iff x>3$.

      D'où le tableau des variations de f

      x	0		3		11
      Signe de $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x-3}{x+2}}$		–	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f	6,53		4,95		8,18

      ---

   3. Tracer la courbe $\left(𝒞\right)$ représentative de la fonction f sur le graphique de la partie A.

3. On admet que la fonction f modélise l'évolution du prix de cette matière première sur la période 1998–2008.

   1. Selon ce modèle, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 ?

      Au 1^er janvier 2005 est associé le rang 7 :$$f\left(7\right)=17-5\ln \left(9\right)\approx \mathrm{6,014}$$

      Selon ce modèle, le prix d'une tonne de matière première au 1^er janvier 2005 serait de 6014 euros.

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   2. Déterminer en quelle année le prix d'une tonne de matière première retrouvera sa valeur de 1998.

      Le rang x est solution de l'équation : $f\left(x\right)=\mathrm{6,48}$

      Sur l'intervalle $\left[7;8\right]$, la fonction f est continue et strictement croissante et $\mathrm{6,01}<\mathrm{6,48}<\mathrm{6,49}$ alors, d'après le théorème des valeurs intermédiairesSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique., l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{6,48}$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[7;8\right]$.

      C'est au cours de l'année 2005 que le prix d'une tonne de matière première retrouvera sa valeur de 1998.

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