Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : centres étrangers

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.
L'exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans explication.

Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice 0.

1) La fonction $x \mapsto e x + \ln 2$ a pour dérivée La fonction $x \mapsto e x$ a pour dérivée la fonction $x \mapsto e$ d'où la fonction $x \mapsto e x + \ln 2$ a pour dérivée	$x \mapsto e x$ $x \mapsto e x + \frac{1}{2}$ $x \mapsto e$
2) La fonction $x \mapsto \ln (3 x) + \ln 3$ a pour dérivée Sur $] 0; + \infty [$ , la fonction $x \mapsto \ln (3 x)$ a pour dérivée la fonction $x \mapsto \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}$ d'où la fonction $x \mapsto \ln (3 x) + \ln 3$ a pour dérivée	$x \mapsto \frac{1}{3 x} + \frac{1}{3}$ $x \mapsto \frac{1}{x}$ $x \mapsto \frac{1}{3 x}$
3) Sur $ℝ$ , une primitive de la fonction $x \mapsto e^{- 2 x + 3}$ est On pose $u (x) = - 2 x + 3$ . La fonction u est dérivable sur $ℝ$ et $u' (x) = - 2$ . Or $e^{- 2 x + 3} = - \frac{1}{2} (- 2 e^{- 2 x + 3})$ Ainsi sur $ℝ$ , la fonction $f : x \mapsto e^{- 2 x + 3}$ est telle que $f (x) = - \frac{1}{2} u' (x) e^{u (x)}$ Donc sur $ℝ$ , une primitive de la fonction $x \mapsto e^{- 2 x + 3}$ est	$x \mapsto - 2 e^{- 2 x + 3}$ $x \mapsto e^{- 2 x + 3}$ $x \mapsto - \frac{1}{2} e^{- 2 x + 3}$
4) Dans $ℝ$ , l'équation $e^{2 x} + e^{x} - 6 = 0$ possède Posons $X = e^{x}$ . On est ramené à résoudre l'équation du second degré $X^{2} + X - 6 = 0$ $Δ = 1^{2} - 4 \times (- 6) = 25$ . Donc l'équation du second degré admet deux solutions distinctes $X_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{25}}{2} = - 3$ et $X_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{25}}{2} = 2$ Or $X_{1}$ est négatif donc l'équation $e^{x} = X_{1}$ n'admet pas de solution dans $ℝ$ ; mais l'équation $e^{x} = X_{2}$ admet une solution unique $x = \ln 2$	2 solutions 1 solution 0 solution
5) Dans $] 0; + \infty [$ , l'équation ${(\ln x)}^{2} + \ln x - 6 = 0$ possède Posons $X = \ln x$ . On est ramené à résoudre l'équation du second degré $X^{2} + X - 6 = 0$ Dont les solutions sont $X_{1} = - 3$ et $X_{2} = 2$ L'équation $\ln x = X_{1}$ admet pour solution $x = e^{- 3}$ ; et l'équation $\ln x = X_{2}$ admet pour solution $x = e^{2}$	2 solutions 1 solution 0 solution
6) Dans $ℝ$ , l'équation ${1,1}^{x} = 2,2$ a pour solution le nombre $\begin{array}{l} {1,1}^{x} = 2,2 & \Leftrightarrow & e^{x \ln 1,1} = 2,2 & Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b : a^{b} = e^{b \ln a} \\ \Leftrightarrow & x \ln 1,1 = \ln 2,2 & Pour tout réel x, \ln (e^{x}) = x \\ \Leftrightarrow & x = \frac{\ln 2,2}{\ln 1,1} \end{array}$	2 $\ln 2$ $\frac{\ln 2,2}{\ln 1,1}$

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