sujet : centres étrangers

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

En utilisant cet ajustement :

1. Déterminer une prévision du nombre d'adhérents en 2004.

   Le rang de l'année 2004 est égal à 6. Une estimation le nombre d'adhérents y en 2004 à l'aide de la droite d'ajustement de Y par rapport à x est telle que :

   $\ln \left(y\right)=\mathrm{0,14}\times 6+\mathrm{6,397}=\mathrm{7,237}\iff y={\mathrm{e}}^{\mathrm{7,237}}$

   Avec cet ajustement on peut prévoir 1390 adhérents en 2004.

   ---

2. Justifier les affirmations suivantes :

   1. $y_i=600\times {\mathrm{1,15}}^{x_i}$; 600 a été arrondi à l'unité, 1,15 a été arrondi au centième.

      $Y_i=\ln \left(y_i\right)\iff y_i={\mathrm{e}}^{Y_i}$( Voir la propriété )Pour tout réel $x>0\text{ , }y=\ln x\iff x={\mathrm{e}}^y$

      Or $Y_i=\mathrm{0,14}{x}_i+\mathrm{6,397}$ d'où :

      $y_i={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,14}{x}_i+\mathrm{6,397}}\iff y_i={\mathrm{e}}^{\mathrm{6,397}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,14}{x}_i}$( Voir la propriété )Pour tous réels a et b , ${\mathrm{e}}^{a+b}={\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^b$

      D'autre part ${\mathrm{e}}^{\mathrm{6,397}}\approx 600$ (arrondi à l'unité) et ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,14}}\approx \mathrm{1,15}$ (arrondi au centième) d'où :

      $y_i=600\times {\mathrm{1,15}}^{x_i}$

      ---

   2. De 1998 à 2004, on peut considérer que le nombre d'adhérents a augmenté de 15% par an.

      Soit t , le taux annuel moyen d'augmentation du nombre d'adhérents de 1998 à 2004. Alors t vérifie :$$y_6=600\times {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^6$$

      Or d'après la question précédente :$$y_6=600\times {\mathrm{1,15}}^6\iff y_6=600\times {\left(1+{\displaystyle \frac{15}{100}}\right)}^6$$

      Donc le taux annuel moyen d'augmentation du nombre d'adhérents de 1998 à 2004 est égal à 15%.

      ---

1. Déterminer la limite de la suite $\left(f\left(n\right)\right)$ lorsque n tend vers $+\infty$ et l'interpréter.

   remarque :

   Cette question s'adresse plus particulièrement aux élèves ayant suivis l'enseignement de spécialité.

   Théorème :

   $𝓁$ désigne soit un réel, soit $+\infty$, soit - ∞.
   Si une fonction f admet une limite $𝓁$ en $+\infty$, alors la suite de terme général $u_n=f\left(n\right)$ admet aussi $𝓁$ pour limite.

   L'étude de la limite de la suite $\left(f\left(n\right)\right)$ lorsque n tend vers $+\infty$ peut se déduire de l'étude de la limite de la fonction f en $+\infty$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }-x=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }1+\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-x}=1$

   Donc: $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3600}{1+\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-x}}}=3600$

   Ainsi $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(n\right)=3600$.

   ---

   interprétation :

   Par définition :

   Dire que la suite $\left(u_n\right)$ admet pour limite le réel $𝓁$ signifie que tout intervalle ouvert $]𝓁-a;𝓁+a[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

   ---

   Le nombre d'adhérents se stabilisera autour de 3600 au bout d'un nombre d'années n suffisamment grand.

   ---

2. On se propose de calculer le nombre moyen d'adhérents M de 2005 à 2009.

   1. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
      Les valeurs de $f\left(n\right)$ seront arrondies à l'unité

      Année	2005	2006	2007	2008	2009
      n	1	2	3	4	5
      $f\left(n\right)$	3 040	3 372	3 513	3 567	3 587

      ---

   2. Calculer la valeur de M, moyenne du nombre prévisionnel d'adhérents entre 2005 et 2009 (le résultat sera arrondi à l'unité).

      $$M={\displaystyle \frac{3040+3372+3513+3567+3587}{5}}=\mathrm{3415,8}$$

      La moyenne du nombre prévisionnel d'adhérents entre 2005 et 2009 est égale à 3416.

      ---

3. On considère la fonction F définie sur [0 ; $+\infty$[ par :$F\left(x\right)=3600\ln \left({\mathrm{e}}^x+\mathrm{0,5}\right)$.

   1. Montrer que F est une primitive de f sur [0 ; $+\infty$[.

      Dire que la fonction F est une primitive de la fonction f signifie que la dérivée F ' = f

      Or pour tout réel x positif : $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& 3600\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+\mathrm{0,5}}}\\ & =& 3600\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x\left(1+\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-x}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3600}{1+\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-x}}}\end{array}$$

      Pour tout réel x positif $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ alors, F est une primitive de f sur $[0;+\infty [$.

      ---

   2. Calculer la valeur moyenne μ de f sur l'intervalle [0,5 ; 5,5].
      On pourra constater que les valeurs M et μ sont proches.

      Soit $\mu$ la valeur moyenne de la fonction f sur $[0;30]$ d'après la définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle :Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que a < b.
      On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b], le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      $$\begin{array}{lll}\mu ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{5,5}-\mathrm{0,5}}}{\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,5}}^{\mathrm{5,5}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{5}}\times {\displaystyle {[3600\ln \left({\mathrm{e}}^x+\mathrm{0,5}\right)]}_{\mathrm{0,5}}^{\mathrm{5,5}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{5}}\times \left(3600\ln \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{5,5}}+\mathrm{0,5}\right)-3600\ln \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}+\mathrm{0,5}\right)\right)\\ & =& 720\times \left(\ln \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{5,5}}+\mathrm{0,5}\right)-\ln \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}+\mathrm{0,5}\right)\right)\end{array}$$

      Arrondie à l'unité, la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0,5 ; 5,5] est $\mu =\mathrm{3\; 411}$

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.