sujet : centres étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

(Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles)

Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur deux thèmes " Cinéma" ou "Musique ".
Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le thème " Cinéma ", les autres portant sur le thème "Musique ".
Le candidat à ce jeu s'appelle Pierre.

PREMIÈRE PARTIE :

(Certaines des réponses aux questions suivantes pourront être justifiées à l'aide d'un arbre de probabilités)

1. Déterminer la probabilité de l'évènement « La question porte sur le thème "Musique" et Pierre y a répondu correctement ».

   Traduisons en terme de probabilités les données de l'énoncé :

   • La boîte contient un tiers de questions portant sur le thème " Cinéma ", les autres portant sur le thème "Musique ", donc $p\left(\mathrm{C}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $p\left(\mathrm{M}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
   • La probabilité que Pierre réponde correctement à une question du thème "Cinéma " est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ donc $p_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{E}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
   • La probabilité que Pierre réponde correctement une question du thème "Musique" est égale à ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ alors $p_{\mathrm{M}}\left(\mathrm{E}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

   D'où l'arbre de probabilité modélisant la situation :

   $$\begin{array}{ccc}p\left(\mathrm{M}\cap \mathrm{E}\right)=p_{\mathrm{M}}\left(\mathrm{E}\right)\times p\left(\mathrm{M}\right)& \text{soit}& p\left(\mathrm{M}\cap \mathrm{E}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement « La question porte sur le thème "Musique" et Pierre y a répondu correctement » est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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2. Montrer que la probabilité de l'évènement E est égale à ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   La boîte de jeu est constituée de questions portant sur deux thèmes " Cinéma" ou "Musique ", alors C et M forment une partition de l'ensemble des résultats.
   Donc d'après la formule des probabilités totales : $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$ $$p\left(\mathrm{E}\right)=p\left(\mathrm{M}\cap \mathrm{E}\right)+p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{E}\right)$$

   Or :$$\begin{array}{ccc}p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{E}\right)=p_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{E}\right)\times p\left(\mathrm{C}\right)& \text{soit}& p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{E}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}$$

   D'où $p\left(\mathrm{E}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement E est égale à ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

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3. On suppose que Pierre n'a pas répondu correctement à la question posée ;
   quelle est la probabilité pour que la question ait porté sur le thème "Cinéma" ?

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle que la question ait porté sur le thème "Cinéma" sachant que Pierre n'a pas répondu correctement à la question posée.

   D'après la définition :Soit A et B deux événements relatifs à une expérience aléatoire, avec $p\left(\mathrm{A}\right)\ne 0$.
   La probabilité de B sachant que A est réalisé est notée $p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{B}\right)$.
   Elle est définie par le quotient :$$p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{B}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)}{p\left(\mathrm{A}\right)}}$$$$p_{\overline{\mathrm{E}}}\left(\mathrm{C}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{C}\right)}{p\left(\overline{\mathrm{E}}\right)}}$$

   Or $p\left(\overline{\mathrm{E}}\right)=1-p\left(\mathrm{E}\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ;

   et d'après la formule des probabilités totales : $p\left(\mathrm{C}\right)=p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{E}\right)+p\left(\mathrm{C}\cap \overline{\mathrm{E}}\right)$

   D'où $p\left(\mathrm{C}\cap \overline{\mathrm{E}}\right)=p\left(\mathrm{C}\right)-p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{E}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

   Donc $$\begin{array}{lll}{p}_{\overline{\mathrm{E}}}\left(\mathrm{C}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{C}\right)}{p\left(\overline{\mathrm{E}}\right)}}& \text{Soit}& p_{\overline{\mathrm{E}}}\left(\mathrm{C}\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité pour que la question ait porté sur le thème "Cinéma" sachant que Pierre n'a pas répondu correctement à la question posée est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

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DEUXIÈME PARTIE :

1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités.

2. Définir la loi de probabilité du nombre de points marqués par Pierre.

   À ce jeu :

   • La probabilité de marquer 5 points est égale à ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.
   • La probabilité de marquer 2 points est égale à ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$.
   • La probabilité de marquer 1 point est égale à ${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{27}}$.
   • La probabilité de marquer 0 point est égale à ${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{27}}$.

   On pense à vérifier que la somme des probabilités est égale à 1 : $${\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{27}}+{\displaystyle \frac{1}{27}}=1$$

   La loi de probabilité du nombre de points marqués par Pierre est donc :

   Nombre de points possibles $x_i$	0	1	2	5
   Probabilités $p_i$	${\displaystyle \frac{1}{27}}$	${\displaystyle \frac{2}{27}}$	${\displaystyle \frac{2}{9}}$	${\displaystyle \frac{2}{3}}$

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3. Calculer l'espérance mathématique du nombre de points marqués par Pierre.

   L'espérance mathématique du nombre de points marqués par Pierre est d'après la définition : Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques x_i.
   L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$$$\mu =0\times {\displaystyle \frac{1}{27}}+1\times {\displaystyle \frac{2}{27}}+2\times {\displaystyle \frac{2}{9}}+5\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{104}{27}}$$

   L'espérance mathématique du nombre de points marqués par Pierre est égale à ${\displaystyle \frac{104}{27}}$.

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