sujet : centres étrangers

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. L'une des deux courbes représentées ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur $[0;3]$ par $f\left(x\right)=f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)$ .
   Laquelle de ces deux courbes ne peut pas convenir ?

   Figure 2	Figure 3

   Les coordonnées du point d'intersection des courbes ${𝒞}_1$ et ${𝒞}_2$ sont $\left(\mathrm{e}-1;1\right)$.

   Par conséquent $f_1\left(\mathrm{e}-1\right)=f_2\left(\mathrm{e}-1\right)=1$ donc $f\left(\mathrm{e}-1\right)=0$.

   Or $\mathrm{e}-1<2$, et l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentée sur la figure 3 est supérieure à 2.

   La courbe de la figure 3 ne représente pas la fonction f.

   ---

2. 1. Donner le tableau de signes de la fonction f sur l'intervalle $[0;3]$.

      Sur l'intervalle $[0;\mathrm{e}-1[$, la courbe ${𝒞}_1$ est au dessus de la courbe ${𝒞}_2$ d'où sur $[0;\mathrm{e}-1]$ : $f_1\left(x\right)>f_2\left(x\right)$ donc $f\left(x\right)>0$.

      Sur l'intervalle $]\mathrm{e}-1;3]$, la courbe ${𝒞}_2$ est au dessus de la courbe ${𝒞}_1$ d'où sur $]\mathrm{e}-1;3]$ : $f_2\left(x\right)>f_1\left(x\right)$ donc $f\left(x\right)<0$.

      D'où le tableau de signe de la fonction f :

      x	0		e - 1		3
      signe de f (x)		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

   2. Donner le tableau de signes de la fonction f ' dérivée de f sur l'intervalle $[0;3]$.

      Sur l'intervalle $[0;3]$, la dérivée de la fonction f est définie par $f\prime \left(x\right)=f_1\prime \left(x\right)-f_2\prime \left(x\right)$.

      Or sur $[0;3]$ :

      • La fonction $f_1$ est strictement décroissante donc pour tout réel x de $[0;3]$ on a $f_1\prime \left(x\right)<0$.
      • La fonction $f_2$ est strictement croissante donc pour tout réel x de $[0;3]$ on a $f_2\prime \left(x\right)>0$ donc $-f_2\prime \left(x\right)<0$.

      ---

      Ainsi, par somme, pour tout réel x de $[0;3]$ on a $f\prime \left(x\right)<0$.

      ---

3. On note F une primitive de f sur $[0;3]$. Indiquer les variations de F sur l'intervalle $[0;3]$.

   Dire que F est une une primitive de f sur $[0;3]$, signifie que pour tout réel x de l'intervalle $[0;3]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de la fonction f sur $[0;3]$.

   x	0		e - 1		3
   Signe de signe de f (x)		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de F

   ---

4. L'une des trois fonctions représentées ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction F.
   Justifier que les courbes représentées sur les figures 5 et 6 ne peuvent pas convenir.

   Figure 4	Figure 5	Figure 6

   On utilise le tableau des variations de la fonction F :

   • figure 5

     C'est la courbe représentative d'une fonction décroissante sur $[0;3]$, donc elle ne convient pas.

     ---

   • figure 6

     C'est la courbe représentative d'une fonction dont le maximum est atteint pour $x=2$.
     Or le maximum de la fonction F est atteint pour $x=\mathrm{e}-1$, donc elle ne convient pas.

     ---

5. Donner la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{e}-1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   $${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{e}-1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle {[F\left(x\right)]}_0^{\mathrm{e}-1}}=F\left(\mathrm{e}-1\right)-F\left(0\right)$$

   Or d'après la courbe représentative de la fonction F (figure 4) :$$F\left(\mathrm{e}-1\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2-3}{2}}\text{ et }F\left(0\right)=0$$

   Donc ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{e}-1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2-3}{2}}$

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6. Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine colorié sur la figure 1.

   Sur l'intervalle $[0;\mathrm{e}-1]$, la courbe ${𝒞}_1$ est au dessus de la courbe ${𝒞}_2$ d'où la valeur de l'aire du domaine colorié sur la figure 1 est :$$\begin{array}{llll}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{e}-1}{f}_1\left(x\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{e}-1}{f}_2\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{e}-1}\left(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right)\mathrm{d}x}& \text{Relation de Chasles}\\ & =& {\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{e}-1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \end{array}$$

   La valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine colorié sur la figure 1 est égale à ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2-3}{2}}$.

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