sujet : centres étrangers

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Un club sportif a été créé en 1998 ; à l'origine le nombre d'adhérents était égal à 600.

PREMIÈRE PARTIE : Étude du nombre d'adhérents de 1998 à 2004

On donne, dans le tableau ci-dessous, le nombre d'adhérents de 1998, à 2003 :

Année	1998	1999	2000	2001	2002	2003
rang de l'année $x_i$	0	1	2	3	4	5
Nombre d'adhérents $y_i$	600	690	794	913	1045	1207

On pose $Y_i=\ln \left(y_i\right)$ et on réalise un ajustement affine par la méthode des moindres carrés du nuage de points $\left(x_i;Y_i\right)$.

Une équation de la droite d'ajustement de Y par rapport à x est $Y=\mathrm{0,14}x+\mathrm{6,397}$.

En utilisant cet ajustement :

1. Déterminer une prévision du nombre d'adhérents en 2004.

2. Justifier les affirmations suivantes :

   1. $y_i=600\times {\mathrm{1,15}}^{x_i}$; 600 a été arrondi à l'unité, 1,15 a été arrondi au centième.

      Pour tout réel $x>0\text{ , }y=\ln x\iff x={\mathrm{e}}^y$

   2. De 1998 à 2004, on peut considérer que le nombre d'adhérents a augmenté de 15% par an.

      Considérer que le nombre d'adhérents a augmenté de 15% par an, c'est, déterminer le taux annuel moyen d'augmentation du nombre d'adhérents de 1998 à 2004.

DEUXIÈME PARTIE : Étude du nombre d'adhérents à partir de l'année 2004

En fait le club a compté 2400 adhérents lors de l'année 2004.

On considère la fonction f définie sur [0 ; $+\infty$[ par :$$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3600}{1+\mathrm{0,5}{e}^{-x}}}$$

On suppose que le nombre d'adhérents en (2004 + n) est égal à $f\left(n\right)$, où n est un entier naturel.

1. Déterminer la limite de la suite $\left(f\left(n\right)\right)$ lorsque n tend vers $+\infty$ et l'interpréter.

   Utiliser le théorème suivant qui figure dans l'enseignement de spécialité :

   $𝓁$ désigne soit un réel, soit $+\infty$, soit - ∞.
   Si une fonction f admet une limite $𝓁$ en $+\infty$, alors la suite de terme général $u_n=f\left(n\right)$ admet aussi $𝓁$ pour limite.

2. On se propose de calculer le nombre moyen d'adhérents M de 2005 à 2009.

   1. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

      Année	2005	2006	2007	2008	2009
      n	1	2	3	4	5
      $f\left(n\right)$	3 040

      Les valeurs de $f\left(n\right)$ seront arrondies à l'unité

   2. Calculer la valeur de M, moyenne du nombre prévisionnel d'adhérents entre 2005 et 2009 (le résultat sera arrondi à l'unité).

3. On considère la fonction F définie sur [0 ; $+\infty$[ par :$F\left(x\right)=3600\ln \left(e^x+\mathrm{0,5}\right)$.

   1. Montrer que F est une primitive de f sur [0 ; $+\infty$[.

      Dire que la fonction F est une primitive de la fonction f signifie que la dérivée F ' = f

   2. Calculer la valeur moyenne μ de f sur l'intervalle [0,5 ; 5,5].

      définition

      Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que a < b.
      On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b], le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

   On pourra constater que les valeurs M et μ sont proches.

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