sujet : centres étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.

   Le taux de fécondité des fumeurs étant le même que celui des non fumeurs, on représente à l'aide d'un graphe, l'évolution d'une génération à l'autre d'un système pouvant être dans l'état F « fumeurs » ou l'état $\overline{\mathrm{F}}$ « non-fumeurs ».

   • 60% des descendants de fumeurs sont des fumeurs alors, d'une génération à l'autre, la probabilité de rester dans l'état F est égale à 0,6. La probabilité de passer de l'état F à l'état $\overline{\mathrm{F}}$ est donc égale à 0,4
   • 10% des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs alors, d'une génération à l'autre, la probabilité de passer de l'état $\overline{\mathrm{F}}$ à l'état F est égale à 0,1. La probabilité de rester dans l'état $\overline{\mathrm{F}}$ est donc égale à 0,9.

   Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

2. Justifier l'égalité matricielle : $\left(\begin{array}{cc}{f}_{n+1}& g_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_n& g_n\end{array}\right)\times A$ où A désigne la matrice : $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$

   Le graphe probabiliste ci-dessus décrit le passage de l'état probabiliste à la génération n, à l'état probabiliste à la génération n + 1.

   La matrice de transition est $A=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$

   Notons :

   • ${\mathrm{F}}_n$ l'évènement : « être un fumeur à la génération de rang n »,
   • ${\overline{\mathrm{F}}}_n$ l'évènement : « être un non-fumeur à la génération de rang n ».

   Alors :$$\begin{array}{lll}{p}_{{\mathrm{F}}_n}\left({\mathrm{F}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}& ;& p_{{\mathrm{F}}_n}\left({\overline{\mathrm{F}}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,4}\\ p_{{\overline{\mathrm{F}}}_n}\left({\mathrm{F}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}& ;& p_{{\overline{\mathrm{F}}}_n}\left({\overline{\mathrm{F}}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,9}\end{array}$$

   D'où :$$\begin{array}{lll}p\left({\mathrm{F}}_n\cap {\mathrm{F}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}\times f_n& ;& p\left({\mathrm{F}}_n\cap {\overline{\mathrm{F}}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,4}\times f_n\\ p\left({\overline{\mathrm{F}}}_n\cap {\mathrm{F}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}\times g_n& ;& p\left({\overline{\mathrm{F}}}_n\cap {\overline{\mathrm{F}}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,9}\times g_n\end{array}$$

   Donc d'après la formule des probabilités totales : $$\begin{array}{llll}p\left({\mathrm{F}}_{n+1}\right)=p\left({\mathrm{F}}_n\cap {\mathrm{F}}_{n+1}\right)+p\left({\overline{\mathrm{F}}}_n\cap {\mathrm{F}}_{n+1}\right)& \text{Soit :}& f_{n+1}=\mathrm{0,6}\times f_n+\mathrm{0,1}\times g_n& \left(1\right)\\ p\left({\overline{\mathrm{F}}}_{n+1}\right)=p\left({\mathrm{F}}_n\cap {\overline{\mathrm{F}}}_{n+1}\right)+p\left({\overline{\mathrm{F}}}_n\cap {\overline{\mathrm{F}}}_{n+1}\right)& \text{Soit :}& g_{n+1}=\mathrm{0,4}\times f_n+\mathrm{0,9}\times g_n& \left(2\right)\end{array}$$

   Les deux égalités précédentes se résument à l'égalté matricielle : $\left(\begin{array}{cc}{f}_{n+1}& g_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_n& g_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$

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3. Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2.

   D'après le théorème donnant l'état probabiliste à l'étape n :Soit M la matrice de transition d'un graphe probabiliste.
   Si P₀ est la matrice ligne décrivant l'état initial et P_n celle décrivant l'état à l'étape n, alors :$$P_n=P_0\times M^n$$$$\left(\begin{array}{cc}{f}_2& g_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_0& g_0\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)}^2$$

   Soit : $$\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{cc}{f}_2& g_2\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)}^2\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,275}& \mathrm{0,725}\end{array}\right)\end{array}$$

   Le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2 est de 27,5%.

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4. Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.

   Soit $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ l'état stable alors P est solution de l'équation : ( voir le théorème )Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
   a. l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$
   b. de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$$$P=P\times A\text{ et }x+y=1$$

   Soit x et y solutions de :$$\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)\text{ et }x+y=1$$

   Or, $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$ équivaut à : $\{\begin{array}{c}x=\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,1}y\\ y=\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,9}y\end{array}$ c'est à dire $\{\begin{array}{c}\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,1}y=0\\ -\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,1}y=0\end{array}$

   D'où en regroupant les deux conditions, $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)\text{ et }x+y=1$, x et y solutions du système : $$\begin{array}{lllll}\left(S\right):\{\begin{array}{r}\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,1}y=0\\ x+y=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{r}\mathrm{0,5}x=\mathrm{0,1}\\ x+y=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{r}x={\displaystyle \frac{1}{5}}\\ y={\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}\end{array}$$

   L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{5}}& {\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}\right)$

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   L'état $P_n$ à l'étape n converge vers l'état $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{5}}& {\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}\right)$ indépendamment de l'état initial $P_0$, cela signifie que :

   Le pourcentage des fumeurs, indépendamment de l'état initial $P_0$, se stabilisera à 20%.

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5. Montrer que : pour tout entier naturel n, $f_{n+1}=\mathrm{0,5}{f}_n+\mathrm{0,1}$.

   Pour tout entier naturel n,$$\left(\begin{array}{cc}{f}_{n+1}& g_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_n& g_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$$

   D'où $f_{n+1}=\mathrm{0,6}{f}_n+\mathrm{0,1}{g}_n$

   Or $g_n=1-f_n$

   Donc $f_{n+1}=\mathrm{0,6}{f}_n+\mathrm{0,1}\left(1-f_n\right)\iff f_{n+1}=\mathrm{0,5}{f}_n+\mathrm{0,1}$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $f_{n+1}=\mathrm{0,5}{f}_n+\mathrm{0,1}$.

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6. On pose, pour tout entier naturel n, $u_n=f_n-\mathrm{0,2}$.

   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Montrons qu'il existe un réel q tel que : $u_{n+1}=q{u}_n$ pour tout entier n. (Voir la définition d'une suite géométrique.)Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

      On a pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=f_{n+1}-\mathrm{0,2}$.

      Or d'après la question précédente $f_{n+1}=\mathrm{0,5}{f}_n+\mathrm{0,1}$

      Donc pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}=\left(\mathrm{0,5}{f}_n+\mathrm{0,1}\right)-\mathrm{0,2}& \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,5}{f}_n-\mathrm{0,1}\\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,5}\left(f_n-\mathrm{0,2}\right)\end{array}$$

      Ainsi pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,5}{u}_n$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,5}$

      D'autre part, $u_0=f_0-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,3}$

      La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=\mathrm{0,3}$ et de raison $q=\mathrm{0,5}$

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   2. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=\mathrm{0,3}$ et de raison $q=\mathrm{0,5}$ alors d'après , la propriété des suites géométriques : Si ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison q , de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier n : $u_n=u_0\times q^n$.

      $u_n=\mathrm{0,3}\times {\left(\mathrm{0,5}\right)}^n$

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   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $f_n=\mathrm{0,3}\times {\mathrm{0,5}}^n+\mathrm{0,2}$.

      Nous avons montré que, pour tout entier naturel n, $u_n=f_n-\mathrm{0,2}$ et $u_n=\mathrm{0,3}\times {\left(\mathrm{0,5}\right)}^n$ donc :

      Pour tout entier naturel n, $$\mathrm{0,3}\times {\left(\mathrm{0,5}\right)}^n=f_n-\mathrm{0,2}\iff f_n=\mathrm{0,3}\times {\mathrm{0,5}}^n+\mathrm{0,2}$$

      Pour tout entier naturel n, $f_n=\mathrm{0,3}\times {\mathrm{0,5}}^n+\mathrm{0,2}$.

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   4. Déterminer la limite de la suite $\left(f_n\right)$ lorsque n tend vers $+\infty$ et l'interpréter.

      $0<\mathrm{0,5}<1$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\mathrm{0,5}\right)}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,3}\times {\mathrm{0,5}}^n+\mathrm{0,2}=\mathrm{0,2}$

      Ainsi la suite $\left(f_n\right)$ converge vers 0,2.

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      Dire que la suite $\left(f_n\right)$ converge vers 0,2 siginfie que tout intervalle ouvert de centre 0,2 (aussi petit soit-il) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain indice.

      À partir d'un certain nombre d'années, d'une génération à l'autre, le pourcentage des fumeurs se stabilisera à 20% de la population.

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