sujet : centres étrangers

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

(Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles)

Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur deux thèmes " Cinéma" ou "Musique ".
Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le thème " Cinéma ", les autres portant sur le thème "Musique ".
Le candidat à ce jeu s'appelle Pierre.

PREMIÈRE PARTIE :

Dans cette partie, on pose à Pierre une question choisie au hasard dans la boîte et on sait que :

• La probabilité que Pierre réponde correctement à une question du thème "Cinéma " est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.
• La probabilité que Pierre réponde correctement une question du thème "Musique" est égale à ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

On considère les évènements suivants :
C: la question porte sur le thème "Cinéma",
M: la question porte sur le thème "Musique",
E : Pierre répond correctement à la question posée.

1. Déterminer la probabilité de l'évènement « La question porte sur le thème "Musique" et Pierre y a répondu correctement ».

   Il s'agit de calculer :$p\left(\mathrm{M}\cap \mathrm{E}\right)=p_{\mathrm{M}}\left(\mathrm{E}\right)\times p\left(\mathrm{M}\right)$

2. Montrer que la probabilité de l'évènement E est égale à ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   La boîte de jeu est constituée de questions portant sur deux thèmes " Cinéma" ou "Musique ", alors C et M forment une partition de l'ensemble des résultats.
   Donc d'après la formule des probabilités totales :$$p\left(\mathrm{E}\right)=p\left(\mathrm{M}\cap \mathrm{E}\right)+p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{E}\right)$$

3. On suppose que Pierre n'a pas répondu correctement à la question posée ;
   quelle est la probabilité pour que la question ait porté sur le thème "Cinéma" ?

   Reporter les informations obtenues dans un tableau puis déterminer la probabilité conditionnelle $p_{\overline{\mathrm{E}}}\left(\mathrm{C}\right)$ que la question ait porté sur le thème "Cinéma" sachant que Pierre n'a pas répondu correctement à la question posée.

(Certaines de ces réponses pourront être justifiées à l'aide d'un arbre de probabilités)

DEUXIÈME PARTIE :

En fait le jeu se déroule de la façon suivante :

• On pose à Pierre une première question (selon les modalités décrites dans la première partie) et il marque 5 points s'il répond correctement et le jeu s'arrête.
• Sinon, on lui pose une deuxième question choisie, indépendamment de la première et il marque 2 points s'il répond correctement et le jeu s'arrête.
• Sinon, on lui pose une troisième question (choisie indépendamment des deux précédentes) et il marque 1 point s'il répond correctement.
• Sinon le jeu s'arrête et il ne marque aucun point.
• À chaque fois qu'une question est tirée, on remet dans la boîte une question portant sur le même thème.

1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités.

2. Définir la loi de probabilité du nombre de points marqués par Pierre.

3. Calculer l'espérance mathématique du nombre de points marqués par Pierre.

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