Baccalauréat septembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton. Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre.
Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible. Lorsque la bille n'atteint pas la cible elle revient à son point de départ.

Dans la suite de l'exercice, on notera :

C l'évènement « la cible est atteinte »
B l'évènement « la bille est avalée ».

Une étude préliminaire a démontré que :

la probabilité d'atteindre la cible lors d'un lancer est égale à 0,3 ;
lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit avalée est égale à 0,2.

Traduire la situation aléatoire ci-dessus par un arbre de probabilité.
On actionne le bouton.
1. Calculer la probabilité $p_{1}$ que la bille soit avalée.
  
  La probabilité $p_{1}$ que la bille soit avalée, est la probabilité de l'évènement « C et B » noté $C \cap B$ .
2. Calculer la probabilité $p_{2}$ qu'elle reste sur la cible.
  
  La probabilité $p_{2}$ que la bille reste sur la cible, est la probabilité de l'évènement « C et $\bar{B}$ » noté $C \cap \bar{B}$ .
Une partie se déroule selon la règle ci-dessous.
Pour jouer, on paie 0,50 euro et on actionne le bouton qui lance la bille :
- si la bille est avalée, on gagne un lot d'une valeur de g euros ;
- si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
- si la bille rate la cible, on perd la mise.
Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d'un joueur :
on recopiera et on complétera le tableau ci-dessous ; aucune justification n'est demandée.

gain -0,50 0 $g - 0,50$

probabilité
1. Montrer que l'espérance de gain d'un joueur en fonction de g est : $E = 0,06 g - 0,38$ .
  
  Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques x_i.
  L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ : $μ = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i}$
2. On prévoit qu'un grand nombre de parties seront jouées. Pour quelles valeurs de g les organisateurs peuvent-ils espérer un bénéfice ?
  
  Les organisateurs peuvent espérer un bénéfice si l'espérance de gain d'un joueur est négative.

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gain	-0,50	0	$g - 0,50$
probabilité