sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

      Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant être dans l'état A ou l'état B.

      La probabilité de rester dans l'état A est égale à 0,5; la probabilité de passer de l'état A à l'état B est donc de $1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$.

      La probabilité de passer de l'état B à l'état A est égale à 0,2; la probabilité de rester dans l'état B est donc de $1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.

      Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

   2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

      La matrice de transition M de ce graphe est d'après la définition,Étant donné un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, sa matrice de transition est la matrice carrée M d'ordre n dont le coefficient $a_{ij}$ a pour valeur le poids de l'arête allant du sommet i au sommet j si cette arête existe, 0 sinon.

      $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

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2. Ce lundi, Mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client d'acheter le produit proposé.
   La matrice ligne décrivant l'état initial au premier appel est donc $P_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$.
   Donner la matrice ligne $P_1$ exprimant l'état probabiliste au deuxième appel.

   $P_1=P_0\times M$ soit $$P_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\times \mathrm{0,5}+0\times \mathrm{0,2}& 1\times \mathrm{0,5}+0\times \mathrm{0,8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$$

   Ainsi la matrice ligne exprimant l'état probabiliste au deuxième appel est $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$

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3. On donne la matrice $M^5=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,287\; 45}& \mathrm{0,712\; 55}\\ \mathrm{0,285\; 02}& \mathrm{0,714\; 98}\end{array}\right)$

   1. Calculer le produit $P_0{M}^5$. En déduire la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client ce lundi.

      $$\begin{array}{rcl}{P}_0{M}^5& =& \left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,287\; 45}& \mathrm{0,712\; 55}\\ \mathrm{0,285\; 02}& \mathrm{0,714\; 98}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}1\times \mathrm{0,287\; 45}+0\times \mathrm{0,285\; 02}& 1\times \mathrm{0,712\; 55}+0\times \mathrm{0,714\; 98}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,287\; 45}& \mathrm{0,712\; 55}\end{array}\right)\end{array}$$

      $P_5=P_0{M}^5$ est la matrice ligne exprimant l'état probabiliste au sixième appel. (Voir la propriété)M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste.
      $P_0$ est la matrice ligne décrivant l'état initial, et $P_n$ l'état probabiliste à l'étape n.
      Alors $P_n=P_0{M}^n$.

      La probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client est égale à 0,28745.

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   2. Quelle aurait été la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client si elle n'avait pas convaincu le premier ?

      Si Mademoiselle Z ne convainc pas son premier client alors l'état probabiliste initial au premier appel est $P_0=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$.

      D'où l'état probabiliste au sixième appel $$\begin{array}{lllll}{P}_5& =& P_0{M}^5& =& \left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,287\; 45}& \mathrm{0,712\; 55}\\ \mathrm{0,285\; 02}& \mathrm{0,714\; 98}\end{array}\right)\\ & & & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,285\; 02}& \mathrm{0,714\; 98}\end{array}\right)\end{array}$$

      La probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client si elle n'avait pas convaincu le premier est égale à 0,28502.

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4. Déterminer l'état stable du système. Comment peut-on l'interpréter ?

   Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,2}y& \mathrm{0,5}x+\mathrm{0,8}y\end{array}\right)\end{array}$$

   Comme $x+y=1$, on en déduit que x et y sont solutions du système : $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{l}x=\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,2}y\\ y=\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,8}y\\ x+y=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,2}y=0\\ x+y=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}\mathrm{0,7}x=\mathrm{0,2}\\ x+y=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{2}{7}}\\ y={\displaystyle \frac{5}{7}}\end{array}\end{array}$$

   L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{7}}& {\displaystyle \frac{5}{7}}\end{array}\right)$

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   L'état $P_n$ à l'étape n converge vers l'état $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{7}}& {\displaystyle \frac{5}{7}}\end{array}\right)$ indépendamment de l'état initial $P_0$, cela signifie que :

   Que Mademoiselle Z ait convaincu ou pas son premier client, à partir d'un certain nombre d'appels, la probabilité de convaincre son nième client sera très proche de ${\displaystyle \frac{2}{7}}$.

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