sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone.

Chaque jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier.
Après avoir observé un grand nombre d'appels de Mademoiselle Z, on peut faire l'hypothèse suivante :

• si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l'assurance à Mademoiselle Z et elle arrive à convaincre le client suivant une fois sur deux ;
• si le client contacté ne répond pas favorablement (situation B), Mademoiselle Z se décourage et n'arrive à convaincre le client suivant qu'une fois sur cinq.

1. 1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

      Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant êre dans l'état A ou l'état B.

   2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

2. Ce lundi, Mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client d'acheter le produit proposé.
   La matrice ligne décrivant l'état initial au premier appel est donc $P_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$.
   Donner la matrice ligne $P_1$ exprimant l'état probabiliste au deuxième appel.

   $P_1=P_0\times M$.

3. On donne la matrice $M^5=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,287\; 45}& \mathrm{0,712\; 55}\\ \mathrm{0,285\; 02}& \mathrm{0,714\; 98}\end{array}\right)$

   1. Calculer le produit $P_0{M}^5$. En déduire la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client ce lundi.

      M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste.
      $P_0$ est la matrice ligne décrivant l'état initial, et $P_n$ l'état probabiliste à l'étape n.
      Alors $P_n=P_0{M}^n$.

   2. Quelle aurait été la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client si elle n'avait pas convaincu le premier ?

      Si Mademoiselle Z ne convainc pas son premier client alors l'état probabiliste initial au premier appel est $P_0=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$.

4. Déterminer l'état stable du système. Comment peut-on l'interpréter ?

   Théorème

   Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0.

   Alors :

   1. l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
   2. de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$.

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