L'objet de cet exercice est l'étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique.
La courbe donnée en ANNEXE (à rendre avec la copie) est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction f définie sur l'intervalle par : .
De même, la courbe est la représentation graphique de la fonction g définie sur l'intervalle par : .
On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur l'intervalle .
On appelle h la fonction définie par .
Calculer où désigne la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle .
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction est dérivable sur I et pour tout réel x de I, .
Étudier le signe de pour x appartenant à l'intervalle . En déduire que la fonction h est strictement monotone sur cet intervalle.
Pour tout réel x, .
Justifier que l'équation admet une solution unique sur l'intervalle et donner à l'aide d'une calculatrice une valeur approchée de à 10-3 près (on ne demande pas de justification sur la méthode d'obtention de cette valeur).
Théorème de la valeur intermédiaire.
Si sur , ou sur , alors f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre et .
Déduire de l'étude précédente les valeurs arrondies à 10-2 des coordonnées du point d'intersection F de et .
Dire que l'équation admet une solution unique sur l'intervalle équivaut à :
est l'unique solution de l'équation sur .
Dans la suite du problème, on prendra et .
Soient les points et . Donner une valeur arrondie à 10-2 de l'aire du rectangle OCFE exprimée en unités d'aire.
Interpréter graphiquement le nombre .
Interpréter graphiquement le nombre .
Aire sous la courbe :
Soit a et b deux réels tels que a ⩽ b, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et sa courbe représentative dans un repère orthogonal .
Si, pour tout x de [a;b] ,
alors est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.
Calculer en fonction de et en donner la valeur arrondie à 10-2.
Se ramener à une formule de primitive de
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction eu est une primitive sur I de la fonction .
La fonction f définie dans la PARTIE A représente la fonction de demande d'un produit ; elle met en correspondance le prix exprimé en milliers d'euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix.
La fonction g définie dans la PARTIE A est la fonction d'offre de ce produit; elle met en correspondance le prix exprimé en milliers d'euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs.
On appelle prix d'équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note le prix d'équilibre et la quantité échangée sur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc : .
Déduire des résultats donnés dans la PARTIE A les valeurs de et de .
Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher (au-dessus du prix ) réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition . Il s'exprime ici en milliers d'euros.
Sur le graphique de la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) :
- indiquer les valeurs et sur les axes de coordonnées ;
- hachurer le domaine dont l'aire s'écrit : .
Calculer, en milliers d'euros, le surplus des consommateurs.
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