Baccalauréat septembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

PARTIE A

L'objet de cet exercice est l'étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique.

La courbe (𝒞f) donnée en ANNEXE (à rendre avec la copie) est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction f définie sur l'intervalle [0;5] par : f(x)=e-0,7x+2,1.

De même, la courbe (𝒞g) est la représentation graphique de la fonction g définie sur l'intervalle [0;5] par : g(x)=0,5x+0,7.

On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur l'intervalle [0;5].

  1. On appelle h la fonction définie par h(x)=f(x)-g(x).

    1. Calculer h(x)h désigne la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle [0;5].

      Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f:xeu(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f(x)=eu(x)×u(x).

    2. Étudier le signe de h(x) pour x appartenant à l'intervalle [0;5]. En déduire que la fonction h est strictement monotone sur cet intervalle.

      Pour tout réel x, ex>0.

    3. Justifier que l'équation h(x)=0 admet une solution unique α sur l'intervalle [0;5] et donner à l'aide d'une calculatrice une valeur approchée de α à 10-3 près (on ne demande pas de justification sur la méthode d'obtention de cette valeur).

      Théorème de la valeur intermédiaire.

      Si f<0 sur ]a;b[, ou f>0 sur ]a;b[, alors f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre f(a) et f(b).

    4. Déduire de l'étude précédente les valeurs arrondies à 10-2 des coordonnées du point d'intersection F de (𝒞f) et (𝒞g).

      Dire que l'équation h(x)=0 admet une solution unique α sur l'intervalle [0;5] équivaut à :
      α est l'unique solution de l'équation f(x)=g(x) sur [0;5].

  2. Dans la suite du problème, on prendra α=2,17 et f(α)=g(α)=1,79.

    1. Soient les points C(0;f(α)) et E(α;0). Donner une valeur arrondie à 10-2 de l'aire du rectangle OCFE exprimée en unités d'aire.

    2. Interpréter graphiquement le nombre 0αf(x)dx .

      Interpréter graphiquement le nombre 0αf(x)dx.

      Aire sous la courbe :

      Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;ȷ) .
      Si, pour tout x de [a;b]  f(x)0,
      alors abf(x)dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.

    3. Calculer 0αf(x)dx en fonction de α et en donner la valeur arrondie à 10-2.

      Se ramener à une formule de primitive de u'eu

      Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction eu est une primitive sur I de la fonction u'eu.

PARTIE B

La fonction f définie dans la PARTIE A représente la fonction de demande d'un produit ; elle met en correspondance le prix f(x) exprimé en milliers d'euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix.

La fonction g définie dans la PARTIE A est la fonction d'offre de ce produit; elle met en correspondance le prix g(x) exprimé en milliers d'euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs.

On appelle prix d'équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note p0 le prix d'équilibre et q0 la quantité échangée sur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc : f(q0)=g(q0).

  1. Déduire des résultats donnés dans la PARTIE A les valeurs de q0 et de p0.

  2. Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher (au-dessus du prix p0) réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition 0q0f(x)dx-p0×q0 . Il s'exprime ici en milliers d'euros.

    1. Sur le graphique de la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) :

      - indiquer les valeurs q0 et p0 sur les axes de coordonnées ;

      - hachurer le domaine dont l'aire s'écrit : 0q0f(x)dx-p0×q0.

    2. Calculer, en milliers d'euros, le surplus des consommateurs.

ANNEXE

Courbes Cf et Cg : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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