Baccalauréat septembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: France Métropolitaine

exercice 1 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Une enquête menée pour le compte d'une entreprise a permis d'établir le nombre d'acheteurs d'un produit X selon le montant de son prix de vente.
Les résultats de l'enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous dans lequel :

xi 1 1,50 2 3 4
yi 3,75 2,8 2 1 0,5
  1. Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série xiyi dans un repère orthogonal Oıȷ du plan (unités graphiques : 4 cm pour 1 euro en abscisse et 2 cm pour 1 000 acheteurs en ordonnée).

  2. On recherche un ajustement affine de la série xiyi.

    1. Donner l'équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
      Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront arrondies au centième ; on ne demande aucune justification.

    2. Tracer cette droite dans le même repère que précédemment.

    3. Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels pour un produit vendu 2,50 euros.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton. Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre.
Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible. Lorsque la bille n'atteint pas la cible elle revient à son point de départ.

Dans la suite de l'exercice, on notera :

Une étude préliminaire a démontré que :

  1. Traduire la situation aléatoire ci-dessus par un arbre de probabilité.

  2. On actionne le bouton.

    1. Calculer la probabilité p1 que la bille soit avalée.

    2. Calculer la probabilité p2 qu'elle reste sur la cible.

    Une partie se déroule selon la règle ci-dessous.
    Pour jouer, on paie 0,50 euro et on actionne le bouton qui lance la bille :

    • si la bille est avalée, on gagne un lot d'une valeur de g euros ;
    • si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
    • si la bille rate la cible, on perd la mise.
  3. Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d'un joueur :
    on recopiera et on complétera le tableau ci-dessous ; aucune justification n'est demandée.

    gain -0,50 0 g-0,50
    probabilité      
    1. Montrer que l'espérance de gain d'un joueur en fonction de g est : E=0,06g-0,38.

    2. On prévoit qu'un grand nombre de parties seront jouées. Pour quelles valeurs de g les organisateurs peuvent-ils espérer un bénéfice ?


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone.

Chaque jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier.
Après avoir observé un grand nombre d'appels de Mademoiselle Z, on peut faire l'hypothèse suivante :

    1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

    2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

  1. Ce lundi, Mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client d'acheter le produit proposé.
    La matrice ligne décrivant l'état initial au premier appel est donc P0=10.
    Donner la matrice ligne P1 exprimant l'état probabiliste au deuxième appel.

  2. On donne la matrice M5=0,287 450,712 550,285 020,714 98

    1. Calculer le produit P0M5. En déduire la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client ce lundi.

    2. Quelle aurait été la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client si elle n'avait pas convaincu le premier ?

  3. Déterminer l'état stable du système. Comment peut-on l'interpréter ?


exercice 3 ( 8 points ) commun à tous les candidats

PARTIE A

L'objet de cet exercice est l'étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique.

La courbe 𝒞f donnée en ANNEXE (à rendre avec la copie) est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction f définie sur l'intervalle 05 par : fx=e-0,7x+2,1.

De même, la courbe 𝒞g est la représentation graphique de la fonction g définie sur l'intervalle 05 par : gx=0,5x+0,7.

On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur l'intervalle 05.

  1. On appelle h la fonction définie par hx=fx-gx.

    1. Calculer hxh désigne la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle 05.

    2. Étudier le signe de hx pour x appartenant à l'intervalle 05. En déduire que la fonction h est strictement monotone sur cet intervalle.

    3. Justifier que l'équation hx=0 admet une solution unique α sur l'intervalle 05 et donner à l'aide d'une calculatrice une valeur approchée de α à 10-3 près (on ne demande pas de justification sur la méthode d'obtention de cette valeur).

    4. Déduire de l'étude précédente les valeurs arrondies à 10-2 des coordonnées du point d'intersection F de 𝒞f et 𝒞g.

  2. Dans la suite du problème, on prendra α=2,17 et fα=gα=1,79.

    1. Soient les points C0fα et Eα0. Donner une valeur arrondie à 10-2 de l'aire du rectangle OCFE exprimée en unités d'aire.

    2. Interpréter graphiquement le nombre 0αfxdx .

    3. Calculer 0αfxdx en fonction de α et en donner la valeur arrondie à 10-2.

PARTIE B

La fonction f définie dans la PARTIE A représente la fonction de demande d'un produit ; elle met en correspondance le prix fx exprimé en milliers d'euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix.

La fonction g définie dans la PARTIE A est la fonction d'offre de ce produit; elle met en correspondance le prix gx exprimé en milliers d'euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs.

On appelle prix d'équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note p0 le prix d'équilibre et q0 la quantité échangée sur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc : fq0=gq0.

  1. Déduire des résultats donnés dans la PARTIE A les valeurs de q0 et de p0.

  2. Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher (au-dessus du prix p0) réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition 0q0fxdx-p0×q0 . Il s'exprime ici en milliers d'euros.

    1. Sur le graphique de la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) :

      - indiquer les valeurs q0 et p0 sur les axes de coordonnées ;

      - hachurer le domaine dont l'aire s'écrit : 0q0fxdx-p0×q0.

    2. Calculer, en milliers d'euros, le surplus des consommateurs.

ANNEXE

Courbes Cf et Cg : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 4 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule réponse est exacte. On demande de cocher cette réponse.

Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice 0
.

1) La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet pour tangente au point d'abscisse 1, la droite d'équation :

  • y=x+1
  • y=x-1
  • y=x+e

2) La représentation graphique de la fonction exponentielle admet pour asymptote :

  • La droite d'équation y=x+1
  • l'axe des abscisses
  • l'axe des ordonnées

3) La fonction f définie par fx=14e-2x+ln2x+4 est une primitive sur l'intervalle ]-2;+[ de la fonction g définie sur l'intervalle ]-2;+[ par :

  • gx=12e-2x+2x+2
  • gx=-12e-2x+1x+2
  • gx=-12e-2x+12x+4

4) L'intégrale -11x3dx est égale à :

  • −0,5
  • 0
  • 0,5

5) La limite en + ∞ de la fonction f définie sur l'intervalle ]12;+[ par fx=-2x3+3x-12x-13 est égale à :

  • 1
  • −1
  • -14

6) Le diagramme en boîte ci-dessous résume une série statistique dont la médiane est :

Diagramme en boîte : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  • 12a+e
  • 12b+d
  • c

7) La droite des moindres carrés associée à une série statistique à deux variables passe par le point moyen du nuage :

  • jamais
  • dans certains cas seulement
  • toujours

8) Selon l'INSEE les prix à la consommation ont augmenté de 8,9% du 1er janvier 1998 au 31 décembre 2003.
Si le taux d'évolution des prix d'une année à la suivante était fixe de 1998 à 2003, et égal à t %, la valeur de t arrondie à 10-2 qui donnerait la même augmentation des prix à la fin de l'année 2003, serait égale à :

  • 1,48%
  • 1,72%
  • 1,43%


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