Baccalauréat septembre 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

PARTIE A

L'objet de cet exercice est l'étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique.

La courbe $(𝒞_{f})$ donnée en ANNEXE (à rendre avec la copie) est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction f définie sur l'intervalle $[0; 5]$ par : $f (x) = e^{- 0,7 x + 2,1}$ .

De même, la courbe $(𝒞_{g})$ est la représentation graphique de la fonction g définie sur l'intervalle $[0; 5]$ par : $g (x) = 0,5 x + 0,7$ .

On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur l'intervalle $[0; 5]$ .

On appelle h la fonction définie par $h (x) = f (x) - g (x)$ .

h est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 5]$ par : $h (x) = e^{- 0,7 x + 2,1} - 0,5 x - 0,7$
1. Calculer $h' (x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle $[0; 5]$ .
  
  Pour tout x de l'intervalle $[0; 5]$ , $h' (x) = f' (x) - g' (x)$
  - Dérivée de la fonction $f : x \to e^{- 0,7 x + 2,1}$ . (Voir la dérivée de $e^{u}$ )Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction $f : x \to e^{u (x)}$ est dérivable sur I et pour tout réel x de I, $f' (x) = e^{u (x)} \times u' (x)$ .
    
    Pour tout x de l'intervalle $[0; 5]$ , $f' (x) = - 0,7 e^{- 0,7 x + 2,1}$ ;
  - et $g' (x) = 0,5$ .
  Ainsi pour tout x de l'intervalle $[0; 5]$ , $h' (x) = - 0,7 e^{- 0,7 x + 2,1} - 0,5$ .
2. Étudier le signe de $h' (x)$ pour x appartenant à l'intervalle $[0; 5]$ . En déduire que la fonction h est strictement monotone sur cet intervalle.
  
  Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} e^{- 0,7 x + 2,1} > 0 & \Leftrightarrow & - 0,7 e^{- 0,7 x + 2,1} < 0 \\ \Leftrightarrow & - 0,7 e^{- 0,7 x + 2,1} - 0,5 < - 0,5 \end{array}$
  
  Ainsi sur l'intervalle $[0; 5]$ , $h' (x) < 0$ . Donc la fonction h est strictement décroissante sur cet intervalle.
3. Justifier que l'équation $h (x) = 0$ admet une solution unique $α$ sur l'intervalle $[0; 5]$ et donner à l'aide d'une calculatrice une valeur approchée de $α$ à 10^-3 près (on ne demande pas de justification sur la méthode d'obtention de cette valeur).
  
  Sur l'intervalle $[0; 5]$ , $h' (x) < 0$ donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire ;Si $f' < 0$ sur $] a; b [$ , ou $f' > 0$ sur $] a; b [$ , alors f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre $f (a)$ et $f (b)$ .
  
  pour tout réel k compris entre $h (0)$ et $h (5)$ , l'équation $h (x) = k$ admet une solution unique.
  
  Or $h (0) = e^{2,1} - 0,7$ et $h (5) = e^{- 0,7 \times 5 + 2,1} - 0,5 \times 5 - 0,7 = e^{- 1,4} - 3,2$ . De plus $e^{- 1,4} - 3,2 < 0 < e^{2,1} - 0,7$ .
  
  Donc l'équation $h (x) = 0$ admet une solution unique $α$ sur l'intervalle $[0; 5]$ .
  
  Un encadrement d'amplitude 10^-4 de α obtenu avec une calculatrice est $2,1716 < α < 2,1717$
  
  Donc la valeur arrondie à 10^-3 près de $α$ est $α = 2,172$ .
4. Déduire de l'étude précédente les valeurs arrondies à 10^-2 des coordonnées du point d'intersection F de $(𝒞_{f})$ et $(𝒞_{g})$ .
  
  Dire que l'équation $h (x) = 0$ admet une solution unique $α$ sur l'intervalle $[0; 5]$ équivaut à :
  $α$ est l'unique solution de l'équation $f (x) = g (x)$ sur $[0; 5]$ .
  
  Ainsi $α$ est l'abscisse du point F intersection des courbes $(𝒞_{f})$ et $(𝒞_{g})$ .
  
  L'encadrement d'amplitude 10^-3 de $α$ permet d'obtenir un encadrement de l'ordonnée $f (α) = g (α)$ du point F.
  
  $\begin{array}{rcl} 2,171 < α < 2,172 & \Leftrightarrow & 2,171 \times 0,5 < 0,5 α < 2,172 \times 0,5 \\ \Leftrightarrow & 1,0855 + 0,7 < 0,5 α + 0,7 < 1,086 + 0,7 \\ \Leftrightarrow & 1,7855 < 0,5 α + 0,7 < 1,786 \end{array}$
  
  Les valeurs arrondies à 10^-2 des coordonnées du point d'intersection F de $(𝒞_{f})$ et $(𝒞_{g})$ sont $F (2,17; 1,79)$ .
Dans la suite du problème, on prendra $α = 2,17$ et $f (α) = g (α) = 1,79$ .
1. Soient les points $C (0; f (α))$ et $E (α; 0)$ . Donner une valeur arrondie à 10^-2 de l'aire du rectangle OCFE exprimée en unités d'aire.
  
  L'aire du rectangle OCFE exprimée en unités d'aire est égale à $\begin{array}{l} OE \times OC & = & α \times f (α) \\ = & 2,17 \times 1,79 \\ = & 3,8843 \end{array}$
  
  La valeur arrondie à 10^-2 de l'aire du rectangle OCFE exprimée en unités d'aire est 3,88.
2. Interpréter graphiquement le nombre $\int_{0}^{α} f (x) d x$ .
  
  Sur $[0; 5]$ , $f > 0$ alors d'après la propriété permettant de calculer l'aire sous la courbe,Soit a et b deux réels tels que a ⩽ b, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O; \vec{i}; \vec{ȷ})$ .
  Si, pour tout x de [a;b] $f (x) ⩾ 0$ ,
  alors $\int_{a}^{b} f (x) d x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.
  
  le nombre $\int_{0}^{α} f (x) d x$ est l'aire exprimée en unités d'aire du domaine compris entre la courbe $(𝒞_{f})$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = α$ .
  
  Il s'agit de l'aire du domaine colorié sur la figure ci-dessus.
3. Calculer $\int_{0}^{α} f (x) d x$ en fonction de $α$ et en donner la valeur arrondie à 10^-2.
  
  $\int_{0}^{α} f (x) d x = \int_{0}^{α} e^{- 0,7 x + 2,1} d x$
  
  Il faut déterminer une primitive sur $[0; α]$ de la fonction f .
  
  Essayons de nous ramener à une formule de primitive de $u' e^{u}$ Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, une primitive sur I de la fonction e^u. u' est la fonction e^u.
  
  On pose $u (x) = - 0,7 x + 2,1$ .
  
  La fonction u est dérivable sur $[0; α]$ et $u' (x) = - 0,7$
  
  Ainsi pour tout réel x de $[0; α]$ , $f (x) = e^{- 0,7 x + 2,1} = - \frac{1}{0,7} (- 0,7 e^{- 0,7 x + 2,1}) = - \frac{1}{0,7} (u' (x) e^{u (x)})$
  
  Une primitive de la fonction f sur $[0; α]$ est la fonction F définie par : $F (x) = - \frac{1}{0,7} e^{- 0,7 x + 2,1}$
  
  Ainsi $\begin{array}{l} \int_{0}^{α} e^{- 0,7 x + 2,1} d x & = & {[- \frac{1}{0,7} e^{- 0,7 x + 2,1}]}_{0}^{α} \\ = & - \frac{1}{0,7} (f (α) - f (0)) \\ = & - \frac{1}{0,7} (f (α) - e^{2,1}) \end{array}$
  
  Or $f (α) = 1,79$ d'où $- \frac{1}{0,7} (f (α) - e^{2,1}) = - \frac{1}{0,7} (1,79 - e^{2,1}) \approx 9,11$ arrondi à 10^-2.
  
  La valeur arrondie à 10^-2 près de $\int_{0}^{α} f (x) d x$ est 9,11.

PARTIE B

La fonction f définie dans la PARTIE A représente la fonction de demande d'un produit ; elle met en correspondance le prix $f (x)$ exprimé en milliers d'euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix.

La fonction g définie dans la PARTIE A est la fonction d'offre de ce produit ; elle met en correspondance le prix $g (x)$ exprimé en milliers d'euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs.

On appelle prix d'équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note $p_{0}$ le prix d'équilibre et $q_{0}$ la quantité échangée sur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc : $f (q_{0}) = g (q_{0})$ .

Déduire des résultats donnés dans la PARTIE A les valeurs de $q_{0}$ et de $p_{0}$ .

Dans la PARTIE A nous avons montré que $α$ est l'unique solution de l'équation $f (x) = g (x)$ sur $[0; 5]$ .

Par conséquent, $q_{0} = α = 2,17$ et $p_{0} = f (α) = g (α) = 1,79$

Ainsi le prix d'équilibre du marché est de 1790 euros pour une quantité échangée égale à 2,17 tonnes.
Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher (au-dessus du prix $p_{0}$ ) réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition $\int_{0}^{q_{0}} f (x) d x - p_{0} \times q_{0}$ . Il s'exprime ici en milliers d'euros.
1. Sur le graphique de la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) :
  
  - indiquer les valeurs $q_{0}$ et $p_{0}$ sur les axes de coordonnées ;
  
  - hachurer le domaine dont l'aire s'écrit : $\int_{0}^{q_{0}} f (x) d x - p_{0} \times q_{0}$ .
2. Calculer, en milliers d'euros, le surplus des consommateurs.
  
  $\begin{array}{rcl} \int_{0}^{q_{0}} f (x) d x - p_{0} \times q_{0} & = & \int_{0}^{α} f (x) d x - f (α) \times α \\ = & 9,11 - 3,88 \\ = & 5,23 \end{array}$
  
  Le surplus des consommateurs est égal à 5,23 milliers d'euros.

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