sujet : La Réunion

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

   Déterminer les probabilités des événements suivants (les résultats seront donnés sous forme de fractions) :

   1. « la personne achète les deux appareils ».

      Avec les notations utilisées, il s'agit de calculer la probabilité de l'événement $\mathrm{T}\cap \mathrm{L}$

      $p\left(\mathrm{T}\cap \mathrm{L}\right)=p_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{L}\right)\times p\left(\mathrm{T}\right)={\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{21}{50}}$

      Ainsi la probabilité de l'événement « la personne achète les deux appareils » est égale à ${\displaystyle \frac{21}{50}}$.

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   2. « la personne achète le lecteur de DVD ».

      On cherche à calculer la probabilité de l'événement L.

      $\overline{\mathrm{T}}$ et $\overline{\mathrm{L}}$ forment une partition de l'ensemble des événements élémentaires de l'expérience aléatoire alors d'après la formule des probabilités totales : A ₁, A ₂, ..., A _n forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$.

      $p\left(\mathrm{L}\right)=p\left(\mathrm{L}\cap \mathrm{T}\right)+p\left(\mathrm{L}\cap \overline{\mathrm{T}}\right)$

      Or $p\left(\mathrm{L}\cap \overline{\mathrm{T}}\right)=p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\mathrm{L}\right)\times p\left(\overline{\mathrm{T}}\right)$ avec $p\left(\overline{\mathrm{T}}\right)=1-p\left(\mathrm{T}\right)$

      D'où $p\left(\mathrm{L}\cap \overline{\mathrm{T}}\right)={\displaystyle \frac{1}{10}}\times \left(1-{\displaystyle \frac{3}{5}}\right)={\displaystyle \frac{1}{25}}$

      Donc $p\left(\mathrm{L}\right)={\displaystyle \frac{21}{50}}+{\displaystyle \frac{1}{25}}={\displaystyle \frac{23}{50}}$

      Ainsi la probabilité de l'événement « la personne achète le lecteur de DVD » est égale à ${\displaystyle \frac{23}{50}}$.

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   3. « la personne n'achète aucun des deux appareils ».

      Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement $\overline{\mathrm{T}}\cap \overline{\mathrm{L}}$

      $p\left(\overline{\mathrm{T}}\cap \overline{\mathrm{L}}\right)=p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\overline{\mathrm{L}}\right)\times p\left(\overline{\mathrm{T}}\right)$ avec $p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\overline{\mathrm{L}}\right)=1-p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\mathrm{L}\right)$. D'où $p\left(\overline{\mathrm{T}}\cap \overline{\mathrm{L}}\right)=\left(1-{\displaystyle \frac{1}{10}}\right)\times {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{9}{25}}$

      Ainsi la probabilité de l'événement « la personne n'achète aucun des deux appareils » est égale à ${\displaystyle \frac{9}{25}}$.

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2. Montrer que, si la personne achète le lecteur de DVD, la probabilité qu'elle achète aussi le téléviseur est ${\displaystyle \frac{21}{23}}$.

   Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement T sachant que l'événement L est réalisé. D'après la définition :Soit A et B deux événements relatifs à une expérience aléatoire, avec $p\left(\mathrm{A}\right)\ne 0$.
   On appelle probabilité de B si A le nombre :$$p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{B}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)}{p\left(\mathrm{A}\right)}}$$

   $p_{\mathrm{L}}\left(\mathrm{T}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{T}\cap \mathrm{L}\right)}{p\left(\mathrm{L}\right)}}$. Soit $p_{\mathrm{L}}\left(\mathrm{T}\right)={\displaystyle \frac{21}{50}}\times {\displaystyle \frac{50}{23}}={\displaystyle \frac{21}{23}}$

   Si la personne achète le lecteur de DVD, la probabilité qu'elle achète aussi le téléviseur est ${\displaystyle \frac{21}{23}}$.

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3. Avant la promotion, le téléviseur coûtait 500 € et le lecteur de DVD 200 €.
   Pendant cette semaine, le magasin fait une remise de 15% pour l'achat d'un seul des deux appareils et de 25% pour l'achat des deux appareils.
   On désigne par D la dépense effective (en €) de la personne.

   1. Déterminer les valeurs possibles de D.

      Les différentes situations possibles sont les suivantes :

      • Une personne ne fait aucun achat alors $\mathrm{D}=0$
      • Une personne achète un téléviseur alors $\mathrm{D}=500\times \mathrm{0,85}=425$
      • Une personne achète un lecteur de DVD alors $\mathrm{D}=200\times \mathrm{0,85}=170$
      • Une personne achète les deux appareils alors $\mathrm{D}=700\times \mathrm{0,75}=525$

      ---

      Les valeurs possibles de D sont : 0, 170, 425 ou 525 euros

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   2. Déterminer la loi de probabilité de D.

      A partir des éléments de réponse de la première partie nous pouvons établir la loi de probabilité de D en effet :

      • "Une personne ne fait aucun achat" est l'événement noté : $\overline{\mathrm{T}}\cap \overline{\mathrm{L}}$
      • "Une personne achète un téléviseur" est l'événement noté : $\mathrm{T}\cap \overline{\mathrm{L}}$
      • "Une personne achète un lecteur de DVD" est l'événement noté : $\overline{\mathrm{T}}\cap \mathrm{L}$
      • "Une personne achète les deux appareils" est l'événement noté : $\mathrm{T}\cap \mathrm{L}$

      Ainsi la la loi de probabilité de D est :

      D i	0	170	425	525
      p i	${\displaystyle \frac{9}{25}}$	${\displaystyle \frac{1}{25}}$	${\displaystyle \frac{9}{50}}$	${\displaystyle \frac{21}{50}}$

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   3. Calculer l'espérance mathématique de D.

      L'espérance mathématique de D est : (Voir la définition) Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques x_i.
      L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$ $$\mu =0\times {\displaystyle \frac{9}{25}}+170\times {\displaystyle \frac{1}{25}}+425\times {\displaystyle \frac{9}{50}}+525\times {\displaystyle \frac{21}{50}}={\displaystyle \frac{1519}{5}}$$

      L'espérance mathématique de D est égale à 303,8

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   4. Le responsable du rayon « image et son » prévoit qu'il se présentera dans la semaine 80 personnes intéressées par ces deux appareils. Quel chiffre d'affaires peut-il espérer effectuer sur la vente de ces deux appareils?

      La dépense espérée en moyenne est de 303,80 euros par personne, d'où un chiffre d'affaire espéré de : $$\mathrm{303,8}\times 80=24304$$

      Le chiffre d'affaires que le responsable du rayon peut espérer effectuer sur la vente de ces deux appareils est de 24 304 €

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