Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le 1^er janvier 2005, une grande entreprise compte 1 500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l'effectif du 1^er janvier partira à la retraite au cours de l'année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année.
Pour tout entier naturel n, on appelle $u_{n}$ le nombre d'employés de l'entreprise le 1^er janvier de l'année (2005 + n).

1. Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{2}$
  
  La suite u de terme général $u_{n}$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier les réponses.
  - Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est arithmétique signifie qu'il existe un réel r, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .
  - Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
2. Expliquer ensuite pourquoi on a, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,9 u_{n} + 100$ .
  
  Chaque année à venir, 10% de l'effectif du 1^er janvier partira à la retraite au cours de l'année et l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année.
Pour tout entier naturel n, on pose : $v_{n} = u_{n} - 1000$ .
1. Démontrer que la suite v de terme général $v_{n}$ est géométrique. Préciser sa raison.
  
  $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 1000 \Leftrightarrow v_{n + 1} = 0,9 u_{n} + 100 - 1000$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  
  Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison q , de premier terme $u_{0}$ alors, pour tout entier n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
  
  En déduire que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 500 \times {0,9}^{n} + 1000$ .
3. Déterminer la limite de la suite u.
  
  0,9 < 1 donc : $\lim_{n \to + \infty} {(0,9)}^{n} = 0$
Démontrer que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} = - 50 \times {0,9}^{n}$

En déduire le sens de variation de la suite u.
- Une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est dite strictement croissante lorsque, pour tout naturel n : $u_{n} < u_{n + 1}$
- Une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est dite strictement décroissante lorsque, pour tout naturel n : $u_{n} > u_{n + 1}$
Au 1^er janvier 2005, l'entreprise compte un sureffectif de 300 employés. À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise ne sera-t-elle plus en sureffectif ?

Il s'agit de déterminer le plus petit entier naturel n, tel que $u_{n} ⩽ 1500 - 300$

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