Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1 500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l'effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l'année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année.
Pour tout entier naturel n, on appelle le nombre d'employés de l'entreprise le 1er janvier de l'année (2005 + n).
Calculer , et
Le 1er janvier 2005, l'entreprise compte 1 500 employés, alors
Le 1er janvier 2006, 10% de l'effectif du 1er janvier 2005 sera parti à la retraite et l'entreprise aura embauché 100 jeunes dans l'année alors :
Soit
Le 1er janvier 2007, 10% de l'effectif du 1er janvier 2006 sera parti à la retraite et l'entreprise aura embauché 100 jeunes dans l'année alors :
Soit
La suite u de terme général est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier les réponses.
Dire qu'une suite est arithmétique signifie qu'il existe un réel r, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, .
Or et
Donc La suite u n'est pas une suite arithmétique.
Dire qu'une suite est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, .
Or
et
Donc La suite u n'est pas une suite géométrique.
Expliquer ensuite pourquoi on a, pour tout entier naturel n, .
Pour tout entier naturel n, est le nombre d'employés de l'entreprise le 1er janvier de l'année (2005 + n).
Le 1er janvier de l'année suivante, 10% de l'effectif du 1er janvier de l'année (2005 + n) sera parti à la retraite et l'entreprise aura embauché 100 jeunes dans l'année alors :
Pour tout entier naturel n, on pose : .
Démontrer que la suite v de terme général est géométrique. Préciser sa raison.
Pour tout entier naturel n, et alors,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc la suite v est une suite géométrique de raison 0,9.
Exprimer en fonction de n.
Pour tout entier naturel n, d'où
Ainsi v est une suite géométrique de premier terme 500 et de raison 0,9 d'où .(Voir la propriété)Si est une suite géométrique de raison q , de premier terme alors, pour tout entier n : .
En déduire que pour tout entier naturel n, .
Pour tout entier naturel n, d'où
Ainsi pour tout entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite u.
0,9 < 1 donc : et
D'où
Démontrer que pour tout entier naturel n,
Pour tout entier naturel n,
D'où pour tout entier naturel n,.
En déduire le sens de variation de la suite u.
Pour tout entier naturel n, . Donc pour tout entier naturel n, alors d'après la définition : Une suite est dite strictement croissante lorsque, pour tout naturel n :
Une suite est dite strictement décroissante lorsque, pour tout naturel n : .
La suite u est strictement décroissante.
Au 1er janvier 2005, l'entreprise compte un sureffectif de 300 employés. À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise ne sera-t-elle plus en sureffectif ?
L'entreprise ne sera plus en sureffectif pour tout entier naturel n, tel que
C'est à dire pour n, tel que :
Or et n est un entier alors
À partir de 2014 l'entreprise ne sera plus en sureffectif.
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