Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1 500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l'effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l'année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année.
Pour tout entier naturel n, on appelle un le nombre d'employés de l'entreprise le 1er janvier de l'année (2005 + n).

    1. Calculer u0, u1 et u2

      Le 1er janvier 2005, l'entreprise compte 1 500 employés, alors u0=1500


      Le 1er janvier 2006, 10% de l'effectif du 1er janvier 2005 sera parti à la retraite et l'entreprise aura embauché 100 jeunes dans l'année alors :

      u1=0,9×u0+100d'oùu1=0,9×1500+100

      Soit u1=1450


      Le 1er janvier 2007, 10% de l'effectif du 1er janvier 2006 sera parti à la retraite et l'entreprise aura embauché 100 jeunes dans l'année alors :

      u2=0,9×u1+100d'oùu2=0,9×1450+100

      Soit u2=1405


      La suite u de terme général un est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier les réponses.

      Dire qu'une suite (un)n est arithmétique signifie qu'il existe un réel r, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1=un+r.

      Or u1=u0-50 et u2=u1-45

      Donc La suite u n'est pas une suite arithmétique.


      Dire qu'une suite (un)n est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1=q×un.

      Or u1=14501500×u0=2930×u0
      et u2=14051450×u1=281290×u1

      Donc La suite u n'est pas une suite géométrique.


    2. Expliquer ensuite pourquoi on a, pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+100.

      Pour tout entier naturel n, un est le nombre d'employés de l'entreprise le 1er janvier de l'année (2005 + n).

      Le 1er janvier de l'année suivante, 10% de l'effectif du 1er janvier de l'année (2005 + n) sera parti à la retraite et l'entreprise aura embauché 100 jeunes dans l'année alors :

      un+1=0,9un+100


  1. Pour tout entier naturel n, on pose : vn=un-1000.

    1. Démontrer que la suite v de terme général vn est géométrique. Préciser sa raison.

      Pour tout entier naturel n, vn=un-1000 et un+1=0,9un+100 alors, vn+1=un+1-1000vn+1=0,9un+100-1000vn+1=0,9un-900vn+1=0,9(un-1000)vn+1=0,9×vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,9×vn donc la suite v est une suite géométrique de raison 0,9.


    2. Exprimer vn en fonction de n.

      Pour tout entier naturel n, vn=un-1000 d'où v0=u0-1000=500

      Ainsi v est une suite géométrique de premier terme 500 et de raison 0,9 d'où vn=500×(0,9)n.(Voir la propriété)Si (un)n est une suite géométrique de raison q , de premier terme u0 alors, pour tout entier n : un=u0×qn.


      En déduire que pour tout entier naturel n, un=500×0,9n+1000 .

      Pour tout entier naturel n, vn=500×(0,9)n d'où un-1000=500×(0,9)n

      Ainsi pour tout entier naturel n, un=500×0,9n+1000.


    3. Déterminer la limite de la suite u.

      0,9 < 1 donc : limn+(0,9)n=0 et limn+500×0,9n+1000=1000

      D'où limn+un=1000


  2. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1-un=-50×0,9n

    Pour tout entier naturel n, un+1-un=(500×0,9n+1+1000)-(500×0,9n+1000)=500×0,9n(0,9-1)=-50×0,9n

    D'où pour tout entier naturel n,un+1-un=-50×0,9n.


    En déduire le sens de variation de la suite u.

    Pour tout entier naturel n, un+1-un=-50×0,9n. Donc pour tout entier naturel n, un+1-un<0 alors d'après la définition : Une suite (un)n est dite strictement croissante lorsque, pour tout naturel n : un<un+1
    Une suite (un)n est dite strictement décroissante lorsque, pour tout naturel n : un>un+1.

    La suite u est strictement décroissante.


  3. Au 1er janvier 2005, l'entreprise compte un sureffectif de 300 employés. À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise ne sera-t-elle plus en sureffectif ?

    L'entreprise ne sera plus en sureffectif pour tout entier naturel n, tel que un1500-300

    C'est à dire pour n, tel que : 500×0,9n+10001200500×0,9n1200-10000,9n2005000,9n0,4ln(0,9n)ln0,4Pour tous réels a et b strictement positifs : lnalnb équivaut à abn×ln0,9ln0,4Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier relatif nln(an)=nlnanln0,4ln0,9lnx<0 si  x]0;1[

    Or 8,6<ln0,4ln0,9<8,7 et n est un entier alors n9

    À partir de 2014 l'entreprise ne sera plus en sureffectif.



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