Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f définie sur ]0;1[]1;+[ par f(x)=1xlnx et on nomme 𝒞 sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O;𝚤,𝚥) du plan.

x   0     1e     1     +
f(x)   + 0||      
f  

-

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-e

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-

 

+

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0

  1. Justifier les éléments suivants donnés par ce tableau de variations : signe de f(x), limites aux bornes de l'ensemble de définition, image de 1e par f.
    On admet que : limx0xlnx=0.

    • variations de la fonction f

      Les variations de la foncrion f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Sur ]0;1[]1;+[, f peut sécrire f(x)=1u(x) d'où f(x)=-u(x)(u(x))2 avec u(x)=xlnx et u(x)=1×lnx+x×1x=lnx+1

      Ainsi, f est la fonction définie sur ]0;1[]1;+[ par f(x)=-lnx+1(xlnx)2

      Comme sur l'intervalle ]0;1[]1;+[ on a (xlnx)2>0, pour étudier le le signe de f(x) il suffit d'étudier le signe de -(lnx+1)

      Pour tout réel x de ]0;1[]1;+[ -(lnx+1)<0lnx+1>0Multiplication par un réel négatif lnx>-1lnx>-lnelne=1lnx>ln1ePour tout réel b strictement positif : ln1b=-lnbx>1ePour tous réels a et b strictement positifs : lna=lnb équivaut à a=b

      Nous pouvons établir le tableau donnant le signe de f(x) ainsi que les variations de la fonction f

      x   0     1e     1     +

      Signe de f(x)

        + 0||      

      Variation de f

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    • Limites

      limx0xlnx=0 (avec xlnx<0) , et limX0-1X=- alors limx01xlnx=- (D'après le théorème : limite d'une fonction composée.)α , m et 𝓁 désignent des nombres réels ou + ou - ∞
      u , v et f sont trois fonctions telles que : f=uv.
      Si limxαu(x)=m et  limXmv(X)=𝓁 alors  limxαf(x)=𝓁.

      Donc limx0f(x)=-.


      limx1-lnx=0- d'où limx1-xlnx=0- et limX0-1X=- alors limx1-1xlnx=-

      Donc limx1-f(x)=-


      limx1+xlnx=0+ et limX0+1X=+ alors limx1+1xlnx=+

      Donc limx1+f(x)=+


      limx+xlnx=+ et limX+1X=0 alors limx+1xlnx=0

      Donc limx+f(x)=0


    • image de 1e

      f(1e)=11eln(1e)=eln(1e)=e-lne=-e

      Donc f(1e)=-e


  2. Combien la courbe 𝒞 possède-t-elle d'asymptotes ? Donner une équation de chacune d'elles.

    limx0f(x)=- alors, la courbe 𝒞 a pour asymptote la droite d'équation x=0.

    limx1-f(x)=- ou limx1+f(x)=+ alors, la courbe 𝒞 a pour asymptote la droite d'équation x=1.

    limx+f(x)=0 alors, la courbe 𝒞 a pour asymptote la droite d'équation y=0.

    La courbe 𝒞 a trois asymptotes les droites d'équation x=0, x=1 et y=0.


    1. Donner une équation de la tangente à la courbe 𝒞 en son point A d'abscisse 1e.

      f(1e)=0 par conséquent, la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1e est parallèle à l'axe des abscisses et a pour équation y=f(1e) soit y=-e.

      La tangente à la courbe 𝒞 en son point A d'abscisse 1e a pour équation y=-e.


    2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞 en son point B d'abscisse e.

      Une équation de la tangente à la courbe 𝒞 en son point B d'abscisse e est donnée par la relation : y=f(e)×(x-e)+f(e)

      Or f(e)=-ln(e)+1(e×lne)2=-1+1(e×1)2=-2e2 et f(e)=1e×lne=1e. Donc y=-2e2×(x-e)+1ey=-2xe2+3e

      La tangente à la courbe 𝒞 en son point B d'abscisse e a pour équation y=-2xe2+3e.


  3. Indiquer pour quelles valeurs du réel k l'équation f(x)=k :

    1. ne possède aucune solution ;

    2. possède une solution unique ;

    3. possède deux solutions distinctes.

    (Aucune justification n'est attendue dans cette question, on pourra s'aider de la représentation graphique de la fonction f obtenue à l'aide de la calculatrice).

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Pour visualiser le nombre de solutions de l'équation f(x)=k :
    déplacer la droite D d'équation y=k à l'aide de la souris.

    Le nombre de solutions de l'équation f(x)=k est égal au nombre de points d'intersection de la courbe 𝒞 avec la droite d'équation y=k.

    • Si k]0;+[ ou k=-e alors l'équation f(x)=k possède une solution.
    • Si k[0;-e[ alors l'équation f(x)=k ne possède aucune solution.
    • Si k]-;-e[ alors l'équation f(x)=k possède deux solutions distinctes.


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