On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f définie sur par et on nomme sa représentation graphique dans un repère orthogonal du plan.
x | 0 | 1 | |||||||||
+ | – | – | |||||||||
f | 0 |
Justifier les éléments suivants donnés par ce tableau de variations : signe de , limites aux bornes de l'ensemble de définition, image de par f.
On admet que : .
Les variations de la foncrion f se déduisent du signe de sa dérivée.
Sur , f peut sécrire d'où avec et
Ainsi, est la fonction définie sur par
Comme sur l'intervalle on a , pour étudier le le signe de il suffit d'étudier le signe de
Pour tout réel x de
Nous pouvons établir le tableau donnant le signe de ainsi que les variations de la fonction f
x | 0 | 1 | |||||||||
Signe de | + | – | – | ||||||||
Variation de f |
(avec ) , et alors (D'après le théorème : limite d'une fonction composée.)α , m et désignent des nombres réels ou ou - ∞
u , v et f sont trois fonctions telles que : .
Si et alors .
Donc .
d'où et alors
Donc
et alors
Donc
et alors
Donc
Donc
Combien la courbe possède-t-elle d'asymptotes ? Donner une équation de chacune d'elles.
alors, la courbe a pour asymptote la droite d'équation .
ou alors, la courbe a pour asymptote la droite d'équation .
alors, la courbe a pour asymptote la droite d'équation .
La courbe a trois asymptotes les droites d'équation , et .
Donner une équation de la tangente à la courbe en son point A d'abscisse .
par conséquent, la tangente à la courbe au point d'abscisse est parallèle à l'axe des abscisses et a pour équation soit .
La tangente à la courbe en son point A d'abscisse a pour équation .
Déterminer une équation de la tangente à la courbe en son point B d'abscisse e.
Une équation de la tangente à la courbe en son point B d'abscisse e est donnée par la relation :
Or et . Donc
La tangente à la courbe en son point B d'abscisse e a pour équation .
Indiquer pour quelles valeurs du réel k l'équation :
ne possède aucune solution ;
possède une solution unique ;
possède deux solutions distinctes.
(Aucune justification n'est attendue dans cette question, on pourra s'aider de la représentation graphique de la fonction f obtenue à l'aide de la calculatrice).
Le nombre de solutions de l'équation est égal au nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation .
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