sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. La consommation est-elle proportionnelle à la vitesse moyenne?
   Justifier la réponse.

   Deux suites de nombres non nuls $a_1,a_2,\; ...\; ,a_n$ et $b_1,b_2,\; ...\; ,b_n$ sont proportionnelles signifie que ${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}={\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}=...={\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$.

2. 1. Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 2 cm pour 10 km/h sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 1 litre sur l'axe des ordonnées).

   2. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.

      Le point moyen G a pour coordonnées $G\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ avec : $\overline{x}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}$ et $\overline{y}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{y}_i}$

   3. A l'aide de la calculatrice, donner une équation, sous la forme $y=ax+b$ , de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés et tracer cette droite (on arrondira a au millième et b au centième).

   4. En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture pour une vitesse de 130 km/h.

3. La forme du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose : $z=\ln y$ et on admet que la droite d'ajustement obtenue pour les cinq points $\left(x;y\right)$ du nuage par la méthode des moindres carrés, a pour équation $z=\mathrm{0,0234}x-\mathrm{0,5080}$ .

   1. Écrire y sous la forme $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$ (donner A et B arrondis à 10^-4)

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$

   2. Tracer, sur le même graphique, la courbe d'équation $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$ pour x élément de l'intervalle $\left[80;120\right]$.

   3. En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture, pour une vitesse de 130 km/h.

4. Des deux valeurs obtenues dans les questions 2. d. et 3. c., pour la consommation à une vitesse de 130 km/h, laquelle vous semble la plus proche de la consommation réelle?
   Expliquer votre choix.

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