Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonctionf définie sur ]0;1[]1;+[ par f(x)=1xlnx et on nomme 𝒞 sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O;𝚤,𝚥) du plan.

x   0     1e     1     +
f(x)   + 0||      
f  

-

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-e

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-

 

+

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0

  1. Justifier les éléments suivants donnés par ce tableau de variations : signe de f(x), limites aux bornes de l'ensemble de définition, image de 1e par f.
    On admet que : limx0xlnx=0

    Pour étudier le signe de f(x), calculer la dérivée de la fonction f.

  2. Combien la courbe 𝒞 possède-t-elle d'asymptotes ? Donner une équation de chacune d'elles.

    1. Donner une équation de la tangente à la courbe 𝒞 en son point A d'abscisse 1e.

      f(1e)=0 par conséquent, la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1e est parallèle à l'axe des abscisses

    2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞 en son point B d'abscisse e.

      Une équation de la tangente à la courbe 𝒞 en son point B d'abscisse e est donnée par la relation : y=f(e)×(x-e)+f(e)

  3. Indiquer pour quelles valeurs du réel k l'équation f(x)=k :

    1. ne possède aucune solution ;

    2. possède une solution unique ;

    3. possède deux solutions distinctes.

    (Aucune justification n'est attendue dans cette question, on pourra s'aider de la représentation graphique de la fonction f obtenue à l'aide de la calculatrice).

    Le nombre de solutions de l'équation f(x)=k est égal au nombre de points d'intersection de la courbe 𝒞 avec la droite d'équation y=k.


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