sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. La population d'une commune rurale diminue de 2% par an. Sa population aura diminué de moitié dans :

   a. 15 ans

   b. 20 ans

   c. 35 ans

   d. 50 ans

   Soit P₀ la population initiale, au bout de n années la population sera $P_n={\mathrm{0,98}}^n\times P_0$

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2. Le prix d'un article augmente d'un certain pourcentage puis baisse immédiatement du même pourcentage. Finalement le prix de cet article :

   a. a augmenté

   b. a baissé

   c. n'a pas varié

   d. on ne peut pas savoir

   Soit t % le pourcentage de l'augmentation (ou de la baisse). Le coefficient multiplicateur associé à l'augmentation suivie de la baisse est : $$\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)$$

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3. La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000. Le taux d'accroissement moyen annuel a été de :

   a. 3%

   b. 2,75%

   c. 2,5%

   d. 1,75%

   Soit x l'écriture décimale du taux d'accroissement moyen, alors x et solution de l'équation :$${\left(1+x\right)}^{40}=2$$

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4. Pour tout réel x, ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2\times {\mathrm{e}}^{3x-1}$ est égal à :

   a. ${\mathrm{e}}^{x^2+3x-1}$

   b. ${\mathrm{e}}^{2x\left(3x-1\right)}$

   c. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{5x}}{\mathrm{e}}}$

   d. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\left(x^2\right)}}{{\mathrm{e}}^{1-3x}}}$

   Pour tous les réels a et b, et pour tout entier relatif n :

   ${\mathrm{e}}^{a+b}={\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^b$ ; ${\mathrm{e}}^{a-b}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^a}{{\mathrm{e}}^b}}$ ; ${\left({\mathrm{e}}^a\right)}^n={\mathrm{e}}^{na}$

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5. Le nombre $-2$ est solution de l'équation :

   a. ${\mathrm{e}}^x=-2$

   b. ${\mathrm{e}}^{\ln x}=-2$

   c. $\ln x=-\ln 2$

   d. $\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=-2$

   Pour tout réel x, $\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=x$

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6. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln \left(x+3\right)<\ln 6$ est :

   a. $S=]-\infty ;3[$

   b. $S=]-3;3[$

   c. $S=]0;3[$

   d. $S=]3;+\infty [$

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7. ${\displaystyle {\int }_1^4{x}^2\mathrm{d}x}=$

   a. 6

   b. 15

   c. 21

   d. 63

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8. La valeur moyenne sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ de la fonction qui à x associe ${\displaystyle \frac{1}{x}}$est :

   a. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   b. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

   c. $\ln \sqrt{3}$

   d. $\ln 2$

   La valeur moyenne d'une fonction f continue sur l'ntervalle [a ; b] est le nombre μ défini par :$$\mu ={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

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