sujet : La Réunion

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. La consommation est-elle proportionnelle à la vitesse moyenne ?
   Justifier la réponse.

   ${\displaystyle \frac{4}{80}}=\mathrm{0,05}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{6,3}}{100}}=\mathrm{0,063}$ alors :

   La consommation n'est pas proportionnelle à la vitesse moyenne.

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2. 1. Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 2 cm pour 10 km/h sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 1 litre sur l'axe des ordonnées).

   2. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.

      Le point moyen G a pour coordonnées $G\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ avec :

      $\overline{x}={\displaystyle \frac{80+90+100+110+120}{5}}=100$ et $\overline{y}={\displaystyle \frac{4+\mathrm{4,8}+\mathrm{6,3}+8+10}{5}}=\mathrm{6,62}$

      Les coordonnées du point moyen sont $G\left(100;\mathrm{6,62}\right)$

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   3. A l'aide de la calculatrice, donner une équation, sous la forme $y=ax+b$ , de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés et tracer cette droite (on arrondira a au millième et b au centième).

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est :

      $y=\mathrm{0,152}x-\mathrm{8,58}$

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   4. En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture pour une vitesse de 130 km/h.

      Si x = 130 alors $y=\mathrm{0,152}\times 130-\mathrm{8,58}=\mathrm{11,18}$

      Pour une vitesse de 130 km/h, l'estimation de la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture est de 11,2 litres

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3. La forme du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose : $z=\ln y$ et on admet que la droite d'ajustement obtenue pour les cinq points $\left(x;y\right)$ du nuage par la méthode des moindres carrés, a pour équation $z=\mathrm{0,0234}x-\mathrm{0,5080}$ .

   1. Écrire y sous la forme $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$ (donner A et B arrondis à 10^-4)

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$. Or $z=\mathrm{0,0234}x-\mathrm{0,508}$ d'où : $$y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,0234}x-\mathrm{0,508}}\iff y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,508}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,0234}x}$$ D'autre part ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,508}}\approx \mathrm{0,6017}$ d'où :

      $y=\mathrm{0,6017}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,0234}x}$

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   2. Tracer, sur le même graphique, la courbe d'équation $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$ pour x élément de l'intervalle $\left[80;120\right]$.

   3. En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture, pour une vitesse de 130 km/h.

      Si x = 130 alors $y=\mathrm{0,6017}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,0234}\times 130}\approx \mathrm{12,6}$

      Avec cet ajustement, pour une vitesse de 130 km/h, l'estimation de la consommation aux 100 km est de 12,6 litres

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4. Des deux valeurs obtenues dans les questions 2. d. et 3. c., pour la consommation à une vitesse de 130 km/h, laquelle vous semble la plus proche de la consommation réelle?
   Expliquer votre choix.

   La courbe de l'ajustement exponentiel étant plus proche des différents points du nuage, la consommation la plus proche de la consommation réelle est de 12,6 litres.

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