sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Au rayon « image et son » d'un grand magasin, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en promotion pendant une semaine.
Une personne se présente :

• la probabilité qu'elle achète le téléviseur est ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ ;
• la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle achète le téléviseur est ${\displaystyle \frac{7}{10}}$ ;
• la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle n'achète pas le téléviseur est ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

On désigne par T l'évènement : « la personne achète le téléviseur » et par L l'évènement : « la personne achète le lecteur de DVD ».

On notera $\overline{\mathrm{T}}$ et $\overline{\mathrm{L}}$ les évènements contraires respectifs de T et de L.

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
   Déterminer les probabilités des évènements suivants (les résultats seront donnés sous forme de fractions) :

   1. « la personne achète les deux appareils ».

      $p\left(\mathrm{T}\cap \mathrm{L}\right)=p_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{L}\right)\times p\left(\mathrm{T}\right)$

   2. « la personne achète le lecteur de DVD ».

      Étant donné deux evènements quelconques, A et B relatifs à une même épreuve : $$p\left(\mathrm{B}\right)=p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}\right)+p\left(\mathrm{B}\cap \overline{\mathrm{A}}\right)=p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{B}\right)\times p\left(\mathrm{A}\right)+p_{\overline{\mathrm{A}}}\left(\mathrm{B}\right)\times p\left(\overline{\mathrm{A}}\right)$$

   3. « la personne n'achète aucun des deux appareils ».

      $p\left(\overline{\mathrm{T}}\cap \overline{\mathrm{L}}\right)=p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\overline{\mathrm{L}}\right)\times p\left(\overline{\mathrm{T}}\right)$

2. Montrer que, si la personne achète le lecteur de DVD, la probabilité qu'elle achète aussi le téléviseur est ${\displaystyle \frac{21}{23}}$.

   Soit A et B deux événements relatifs à une expérience aléatoire, avec $p\left(\mathrm{A}\right)\ne 0$.
   On appelle probabilité de B si A le nombre : $p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{B}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)}{p\left(\mathrm{A}\right)}}$

3. Avant la promotion, le téléviseur coûtait 500 € et le lecteur de DVD 200 €.
   Pendant cette semaine, le magasin fait une remise de 15% pour l'achat d'un seul des deux appareils et de 25% pour l'achat des deux appareils.
   On désigne par D la dépense effective (en €) de la personne.

   1. Déterminer les valeurs possibles de D.

      Les différentes situations possibles sont les suivantes :

      • Une personne ne fait aucun achat.
      • Une personne achète un téléviseur.
      • Une personne achète un lecteur de DVD.
      • Une personne achète les deux appareils.

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   2. Déterminer la loi de probabilité de D.

   3. Calculer l'espérance mathématique de D.

      Utiliser la définition :

      Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques x_i.
      L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$

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   4. Le responsable du rayon « image et son » prévoit qu'il se présentera dans la semaine 80 personnes intéressées par ces deux appareils. Quel chiffre d'affaires peut-il espérer effectuer sur la vente de ces deux appareils?

      L'espérance mathématique de D est la dépense en euros espérée en moyenne par personne.

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