Si $a\in ]0;1[$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x$ est égale à :

Il s'agit d'un théorème du cours sur les fonctions exponentielles de base a :
Si $a\in ]0;1[$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=0$

• 0

  ---

• $+\infty$

• - ∞

Une primitive sur $ℝ$ de la fonction $x\to x{\mathrm{e}}^{x^2}$ est :

Soit u la fonction "carrée" définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=x^2$, d'où $u\prime \left(x\right)=2x$

Alors, la fonction $f:x\to x{\mathrm{e}}^{x^2}$ est de la forme ${\displaystyle \frac{1}{2}}u\prime {\mathrm{e}}^u$.

Par conséquent, l'ensemble des primitives de la fonction f sont les fonctions $F={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^u+C$ où C est un réel.

• $x\to {\mathrm{e}}^{x^2}$

• $x\to 2{\mathrm{e}}^{x^2}$

• $x\to {\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{x^2}$

La dérivée sur $\left]0;+\infty \right[$ de la fonction $x\to x\ln x$ est :

Sur $\left]0;+\infty \right[$, la fonction f définie par $f\left(x\right)=x\ln x$ est le produit de deux fonctions u et v définies sur $\left]0;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)=x$ et $v\left(x\right)=\ln x$.

$u\prime \left(x\right)=1$ et $v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

D'où $f\prime \left(x\right)=1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x+1$.

• $x\to {\displaystyle \frac{1}{x}}$

• $x\to \ln x$

• $x\to \ln x+1$

  ---

${\mathrm{e}}^{-2\ln 5}$ est égal à :

${\mathrm{e}}^{-2\ln 5}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{2\ln 5}}}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\ln 25}}}={\displaystyle \frac{1}{25}}$

• ${\displaystyle \frac{1}{25}}$

• - 25

• ${\displaystyle \frac{5}{2}}$

L'équation ${\mathrm{e}}^x={\displaystyle \frac{16}{{\mathrm{e}}^x}}$ admet sur $ℝ$ :

${\mathrm{e}}^x={\displaystyle \frac{16}{{\mathrm{e}}^x}}\iff {\displaystyle \frac{{\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2-16}{{\mathrm{e}}^x}}=0\iff {\displaystyle \frac{\left({\mathrm{e}}^x-4\right)\left({\mathrm{e}}^x+4\right)}{{\mathrm{e}}^x}}=0$

Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x+4>4$ et ${\mathrm{e}}^x-4=0\iff x=\ln 4$

Ainsi, l'équation ${\mathrm{e}}^x={\displaystyle \frac{16}{{\mathrm{e}}^x}}$ admet une seule solution sur $ℝ$.

• Aucune solution

• Une solution

  ---

• Deux solutions

L'ensemble des solutions de l'inéquation $x\ln \left(\mathrm{0,2}\right)-5⩾0$ est :

$\begin{array}{llll}x\ln \left(\mathrm{0,2}\right)-5⩾0& \iff & x\ln \left(\mathrm{0,2}\right)⩾5& \\ & \iff & x⩽{\displaystyle \frac{5}{\ln \left(\mathrm{0,2}\right)}}& \text{Car : }\ln \left(\mathrm{0,2}\right)<0\end{array}$

• $[{\displaystyle \frac{5}{\ln \left(\mathrm{0,2}\right)}};0[$

• $]-\infty ;{\displaystyle \frac{5}{\ln \left(\mathrm{0,2}\right)}}]$

• $[{\displaystyle \frac{5}{\ln \left(\mathrm{0,2}\right)}};+\infty [$

$P\left(A\cup B\right)=$

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,3}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,5}$

• 0,1

• 0,5

  ---

• 0,7

$P\left(A\cap \overline{B}\right)=$

$A\cap \overline{B}$ est l'ensemble des évènements élémentaires qui sont dans A mais pas dans B.

$P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,2}$.

• 0,1

• 0,2

  ---

• 0,4

$P\left(\overline{A\cap B}\right)=$

$P\left(\overline{A\cap B}\right)=1-P\left(A\cap B\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$

• 0,3

• 0,5

• 0,8

  ---

$P_A\left(B\right)=$

$P_A\left(B\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,4}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

• ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

• ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$