sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminer l'état initial P₁.

   Le premier jour, 15% du personnel souhaite le déclenchement d'une grève. D'où ${\mathrm{P}}_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)$.

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2. 1. Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.

      Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant être dans l'état G (gréviste) ou l'état T (non gréviste).

      D'une jour sur l'autre :

      • parmi ceux qui souhaitent le déclenchement d'une grève un certain jour, 35% changent d'avis le lendemain.

        • La probabilité de passer de l'état G à l'état T est donc $p_{g_n}\left(t_{n+1}\right)=\mathrm{0,35}$;
        • la probabilité de rester dans l'état G est $p_{g_n}\left(g_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$ .

      • parmi ceux qui ne souhaitent pas le déclenchement d'une grève un certain jour, 33% changent d'avis le lendemain.

        • La probabilité de passer de l'état T à l'état G est $p_{t_n}\left(g_{n+1}\right)=\mathrm{0,33}$ ;
        • la probabilité de rester dans l'état T est donc $p_{t_n}\left(t_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,33}=\mathrm{0,67}$.

      Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

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   2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.

      La matrice de transition M de ce graphe est d'après la définition, Étant donné un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, sa matrice de transition est la matrice carrée M d'ordre n dont le coefficient $a_{ij}$ a pour valeur le poids de l'arête allant du sommet i au sommet j si cette arête existe, 0 sinon.

      $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,65}& \mathrm{0,35}\\ \mathrm{0,33}& \mathrm{0,67}\end{array}\right)$.

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3. Calculer le pourcentage de personnes favorables à la grève le 3^e jour.

   $$\begin{array}{lll}{\mathrm{P}}_3& =& {\mathrm{P}}_1\times {\mathrm{M}}^2\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,65}& \mathrm{0,35}\\ \mathrm{0,33}& \mathrm{0,67}\end{array}\right)}^2\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,538}& \mathrm{0,462}\\ \mathrm{0,4356}& \mathrm{0,5644}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45096}& \mathrm{0,54904}\end{array}\right)\end{array}$$

   45,096% des personnes sont favorables à la grève le 3^e jour.

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4. Soit $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ l'état probabiliste stable (on rappelle que $x+y=1$).

   1. Montrer que x et y vérifient l'équation $x=\mathrm{0,65}x+\mathrm{0,33}y$.

      La matrice de transition M ne comportant pas de 0 , l'état ${\mathrm{P}}_n$ converge vers un état stable P indépendant de l'état initial.
      P est solution de l'équation : ( voir le théorème ) Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
      —  l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
      —  de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$. $$\mathrm{P}=\mathrm{P}\times \mathrm{M}\text{ avec }x+y=1$$

      Soit $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,65}& \mathrm{0,35}\\ \mathrm{0,33}& \mathrm{0,67}\end{array}\right)$.

      D'où x et y sont solutions du système $\{\begin{array}{c}x=\mathrm{0,65}x+\mathrm{0,33}y\\ y=\mathrm{0,35}x+\mathrm{0,67}y\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\mathrm{0,35}x-\mathrm{0,33}y=0\\ -\mathrm{0,35}x+\mathrm{0,33}y=0\end{array}$.

      Ainsi x et y vérifient l'équation $x=\mathrm{0,65}x+\mathrm{0,33}y$.

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   2. Déterminer x et y (on arrondira les résultats à 10^-3 près).

      $\mathrm{P}=\mathrm{P}\times \mathrm{M}$ et $x+y=1$ équivaut à x et y solutions du système : $$\{\begin{array}{r}\mathrm{0,35}x-\mathrm{0,33}y=0\\ x+y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{r}\mathrm{0,68}x=\mathrm{0,33}\\ x+y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{r}x={\displaystyle \frac{33}{68}}\\ y={\displaystyle \frac{35}{68}}\end{array}$$

      Arrondis à 10^-3 près $x=\mathrm{0,485}$ et $y=\mathrm{0,515}$.

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   3. Interpréter le résultat.

      Par théorème, l'état ${\mathrm{P}}_n$ converge vers un l'état stable $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,485}& \mathrm{0,515}\end{array}\right)$ indépendamment de l'état initial.

      Si les conditions de mobilisation ne changent pas, la grève n'a pas lieu, le pourcentage de ceux qui souhaitent la grève se stabilisant autour de 48,5%.

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